Download Lineer Cebir - Hüseyin Bilgiç and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!

L˙INEER CEB˙IR

DERS NOTLARI

Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B˙ILG˙IÇ

Kahramanmara¸s Sütçü ˙Imam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi

Matematik Bölümü

A ˘gustos 2015

e-posta: h_bilgic@hotmail.com

ÖNSÖZ

Bu ders notları, Kahramanmara¸s Sütçü ˙Imam Üniversitesi Fen–Edebiyat Fakültesi Matematik Bölü-

münde, 1999–2002 yılları arasında verdi ˘gim ve daha sonra da 2011 yılından beri vermekte oldu ˘gum

Lineer Cebir I ve Lineer Cebir II derslerine ait ders notlarıdır. Bu ders notları Bernard Kolman’ın “Ele-

mentary Linear Algebra” isimli kitabının 4. baskısı temel alınarak hazırlanmı¸stır. Bazı alt bölümler

atlanmı¸s ve bazı ispat ve örnekler daha açıklayıcı ¸sekilde geni¸sletilmi¸stir.

Ders notlarının bilgisayar ortamına aktarılmasındaki amaç, ö ˘grencilerin ders sırasında not tutarken

yapılan hataların en aza indirgenmesidir. Di ˘ger bir amaç ise; ders notu tutma sırasında dersi anla-

makla ilgili kayıpların azaltılmasıdır.

Bu ders notları 6 bölümden olu¸smaktadır. ˙Ilk 2 bölüm güz döneminde 4 saatlik; daha sonraki 4 bölüm

ise bahar döneminde 4 saatlik bir ders için uygundur.

Bu ders notlarının tamamı LATEX programı ile hazırlanmı¸stır. Bu yüzden LATEX programı yazarlarına

te¸sekkür ederim. Notların hazırlanmasında eme ˘gi geçen ve genelde bölümümüz 2010 giri¸sli ö ˘gren-

cilerinden olu¸san gruba te¸sekkür ederim. Notlardaki ¸sekillerin (grafiklerin) hazırlanmasında kullan-

dı ˘gım MFPIC programının yazarı Daniel H. Luecking’e de te¸sekkür ederim.

Notların ö ˘grencilere faydalı olması dile ˘giyle,

Yrd.Doç.Dr. Hüseyin Bilgiç.

Kahramanmara¸s, Eylül 2014.

3.1 R

• 1 Lineer Denklemler ve Matrisler
  • 1.1 Lineer Denklem Sistemleri
  • 1.2 Matrisler ve Matris ˙I¸slemleri
  • 1.3 Matris ˙I¸slemlerinin Cebirsel Özellikleri
  • 1.4 Özel Tipteki Matrisler ve Parçalı Matrisler
  • 1.5 Bir Matrisin E¸selon Formu
    • − 1.6 Elementer Matrisler ve A
      • in Bulunması
  • 1.7 E¸sde ˘ger Matrisler
• 2 Reel Vektör Uzayları
  • 2.1 Vektör Uzayları ve Altuzaylar
  • 2.2 Lineer Ba ˘gımsızlık
  • 2.3 Baz ve Boyut
  • 2.4 Koordinatlar ve ˙Izomorfizmler
  • 2.5 Bir Matrisin Rankı
• 3 Iç Çarpım Uzayları˙ Hüseyin B˙ILG˙IÇ - ün Standart ˙Iç Çarpımı
  • 3.2 Iç Çarpım Uzayları˙
  • 3.3 Gram–Schmidt Yöntemi
• 4 Lineer Dönü¸sümler ve Matrisler
  • 4.1 Tanım ve Örnekler
  • 4.2 Bir Lineer Dönü¸sümün Çekirde ˘gi ve Görüntüsü
  • 4.3 Bir Lineer Dönü¸sümün Matrisi
  • 4.4 Matrislerin Vektör Uzayı ve Lineer Dönü¸sümlerin Vektör Uzayı
• 5 Determinantlar
  • 5.1 Determinantın Tanımı
  • 5.2 Determinantın Özellikleri
  • 5.3 Kofaktör Açılımı
  • 5.4 Bir Matrisin Tersi
  • 5.5 Determinantın Di ˘ger Uygulamaları
• 6 Özde ˘gerler ve Özvektörler

Lineer Denklemler ve Matrisler

1.1 Lineer Denklem Sistemleri

a 1 , a 2 , a 3 ,... , an, b sabitler ve x 1 , x 2 ,... , xn’ler de de ˘gi¸skenler olmak üzere;

a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + anxn = b (1.1)

seklindeki bir denkleme lineer denklem denir. E ˘¸ ger s 1 , s 2 ,... , sn sayıları x 1 , x 2 ,... , xn yerine

yazıldı ˘gında (1.1) denklemi sa ˘glanıyorsa bu sayılara (1.1) denkleminin bir çözümü denir. Örne ˘gin

x 1 = 2, x 2 = 3 ve x 3 = − 4 sayıları 6 x 1 − 3 x 2 + 4x 3 = − 13 denkleminin bir çözümüdür. Çünkü

6 · 2 − 3 · 3 + 4 · (−4) = − 13 dür.

Genel olarak n bilinmeyenli m denklemli bir lineer denklem sistemi (kısaca lineer sistem) a¸sa ˘gıdaki

gibi yazılır:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2

. . .

am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm

Burada aij ler sabittir. b 1 , b 2... , bn verildi ˘ginde (1.2) yi sa ˘glayan x 1 , x 2 ,... , xn de ˘gerlerini bul-

maya çalı¸saca ˘gız. s 1 , s 2 ,... , sn sayılarının bu sistemin bir çözümü olması demek, bu sayıların her

bir denklemin çözümü olması demektir. E ˘ger bir lineer sistemin hiç çözümü yoksa bu sisteme tutarsız,

e ˘ger en az bir çözümü varsa tutarlı denir. E ˘ger b 1 = b 2 =... = bm = 0 ise bu sisteme homojen

sistem denir. Bir homojen sistemdeki x 1 = x 2 = · · · = xn = 0 çözümüne trival (a¸sikar) çözüm

denir. Aksi halde trival olmayan çözüm denir.

x 1 ’i yok edersek: − 3 x 2 + 3x 3 = 12 =⇒ x 2 = x 3 − 4. Bunu 1. denklemde yazarsak x 1 = x 3 + 4

bulunur. Bu sistemin çözümü:



 

x 1 = x 3 + 4

x 2 = x 3 − 4

x 3 = herhangi bir reel sayı

Yani sonsuz tane çözüm var. Mesela x 3 = 1, x 1 = 5, x 2 = − 3

gibi.

Sonuç :

Bu örnekler göstermektedir ki; bir lineer sistemin tek çözümü de olabilir, hiç çözümü olmayabilir

veya sonsuz tane çözümü olabilir.

Simdi¸

a 1 x 1 + a 2 x 2 = c 1

b 1 x 1 + b 2 x 2 = c 2

lineer denklem sistemini dü¸sünelim.

Bu iki denklemin belirtti ˘gi do ˘gruları l 1 ve l 2 ile gösterelim. E ˘ger x 1 = s 1 , x 2 = s 2 bu sistemin

çözümü ise (s 1 , s 2 ) noktası hem l 1 hem de l 2 üzerindedir. Tersine e ˘ger bir (s 1 , s 2 ) noktası hem l 1

hem de l 2 üzerinde ise x 1 = s 1 , x 2 = s 2 bu sistemin bir çözümüdür. Geometrik olarak da üç

ihtimalin oldu ˘gunu ¸Sekil 1.1 de görebiliriz.

x 1 x 1 x 1

x 2 x 2 x 2

l 2

l 1

l 2 l 1 l 1

l 2

(a) Tek çözüm (b)^ Çözüm yok^ (c) Sonsuz çözüm

Sekil 1.1:¸

Not: Yok etme metodunda a¸sa ˘gıdakilerden birisi yapılabilir:

1. i. ve j. denklemler yer de ˘gi¸stirebilir. 2. Denklemlerden herhangi biri sıfır olmayan bir sabitle çarpılabilir. 3. i. denklem yerine [c × (j.denklem)] + i.denklem yazılabilir. (i 6 = j)

Bu de ˘gi¸siklerle elde edilen sistem orjinal sistemin bir e¸sidir. (˙Ispatlayınız)

1.2 Matrisler ve Matris ˙I¸slemleri

Tanım 1.6 Sayıların bir dikdörtgensel dizisine bir matris denir ve a¸sa ˘gıdaki ¸sekilde gösterilir:

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. . .

am 1 am 2 · · · amn

A matrisinin i. satırı [ai 1 , ai 2 , · · · , ain] dir .( 1 6 i 6 m).

A nın j. sütunu

a 1 j

a 2 j

. . .

amj

dir. ( 1 6 j 6 n)

E ˘ger bir A matrisinin m satırı ve n sütunu varsa bu matrise m × n tipinde matris denir. m = n

ise kare matris denir. (veya n. dereceden kare matris denir). a 11 , a 22 ,... , ann elemanları A nın

diyagonali (esas kö¸segeni) üzerindedir denir. aij elemanına (i, j)–inci eleman denir. A matrisi A =

[aij ] ¸seklinde de yazılabilir. E ˘ger A , m × n tipinde bir matris ise (^) mAn yazarız ; e ˘ger n × n tipinde

ise An yazılır.

Örnek 1.

A =

, B = [1 3 − 7] , C =

ve D =

[

]

ise a 32 = − 3 , c 21 = − 1 , b 12 = 3, d 22 = − 2... gibi.

Tanım 1.8 E ˘ger m × n tipindeki A = [aij ] ve B = [bij ] matrislerinin kar¸sılıklı elemanları e¸sitse bu

iki matrise e¸sit matrisler denir ve A = B yazılır. Yani her i = 1, 2 ,... , m ve j = 1, 2 ,... , n için

aij = bij dir.

Tanım 1.9 E ˘ger A = [aij ] ve B = [bij ] matrisleri m × n tipinde matrislerse A ve B nin toplamı

olan C = [cij ] = A + B matrisi cij = aij + bij ¸seklinde tanımlanır.

Örnek 1.10 A =

[

]

ve B =

[

]

=⇒ A + B =

[

]

A · B =

a 11 a 12... a 1 n

a 21 a 22... a 2 n

. . .

ai 1 ai 2... ain

. . .

am 1 am 2... amn

b 11 b 12... b 1 j... b 1 p

b 21 b 22... b 2 j... b 2 p

. . .

bn 1 bn 2... bnj... bnp

Örnek 1.15 A =

[

]

2 × 3

ve B =

3 × 2

matrisleri verilsin.

A · B =

[

]

2 × 2

[

]

Burada B · A matrisi de tanımlıdır. (Her zaman tanımlı olmayabilir.)

Simdi Bölüm 1.1 deki (1.2) nolu lineer sisteme dönelim ve a¸¸ sa ˘gıdaki matrisleri tanımlayalım:

A =

a 11 a 12... a 1 n

a 21 a 22... a 2 n

.. .

am 1 am 2... amn

, X =

x 1

x 2

.. .

xn

, B =

b 1

b 2

.. .

bm

Böylece (1.2) lineer sistemi A · X = B ¸seklinde yazılabilir. Burada A’ ya katsayılar matrisi denir.

A¸sa ˘gıdaki matrise de ek matris (eklenmi¸s matris) denir. (Yani denklem sisteminin ek matrisi denir)

[A

.B] =

a 11 a 12... a 1 n

. b 1

a 21 a 22... a 2 n

. b 2

. . .

am 1 am 2... amn

. bm

Örnek 1.

2 x 1 + 3x 2 − 4 x 3 + x 4 = 5

− 2 x 1 + x 3 = 7

3 x 1 + 2x 2 − 4 x 4 = 3

denklem sistemini dü¸sünelim. Bu lineer sistemi

matris formunda ¸söyle yazılabilir:

x 1

x 2

x 3

x 4

Katsayılar matrisi

, ek matris

Tanım 1.17 E ˘ger A = [aij ] m × n tipinde bir matris ise A nın transpozu (devri ˘gi) olan ve A

′ (veya

A

T ) ile gösterilen matris, a

′ ij =^ aji^ olarak tanımlanır. Yani^ A

′ matrisi, A nın satırlarının sütun ve

sütunların satır yapılmasıyla elde edilen matristir.

Örnek 1.18 A =

[

]

ise A

′

Örnek 1.19 A =

[

]

, B =

, C =

, D =

[

]

ve E =

matrisleri verilsin. (E ˘ger mümkünse) a¸sa ˘gıdaki i¸slemleri yapınız:

(a) C + E (b) AB ve BA

(c) 2 C − 3 E (d) CB + D

(e) AB + D

2 , D

2 = DD dir. (f) (3)(2A) ve 6 A

(g) A(BD) (h) (AB)D

(i) A(C + E) (j) AC + AE

(k) 3 A + 2A ve 5 A (l) A

′

(m) (A

′ )

′ (n) (AB)

′

(o) B

′ A

′ (p) (C + E)

′

(r) C′^ + E′^ (s) A(2B) ve 2(AB)

Çözüm: Ödev (kolay)

Örnek 1.20 E ˘ger A = [aij ], n × n tipinde bir matris ise A nın izi (trace) diyagonaldeki elemanların

toplamı olarak tanımlanır:

Tr(A) =

∑^ n

i=

aii

Buna göre, a¸sa ˘gıdakileri ispatlayınız:

(a) Tr(c · A) = c Tr(A) (c : reel sayı)

(b) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)

Örnek 1.22 AB − BA =

[

]

sartını sa ˘ ¸ glayan 2 × 2 tipinde A ve B matrisleri bulunamaya-

ca ˘gını ispatlayınız.

Çözüm: A =

[

a b

c d

]

ve B =

[

e f

g h

]

olsun. AB − BA =

[

]

olsun.

AB − BA =

[

ae + bg − ea − f c af + bh − eb − f d

ce + dg − ga − hc cf + dh − gb − hd

]

[

]

olup bg − f c = 1 ve cf − gb = 1 olur ve taraf tarafa toplanırsa 0 = 2 çeli¸skisi elde edilir. O halde

bu ¸sekilde A ve B matrisleri olamaz.

1.3 Matris ˙I¸slemlerinin Cebirsel Özellikleri

Teorem 1.23 Matris i¸slemleri için a¸sa ˘gıdaki özellikler sa ˘glanır:

1) A ve B m × n matrisler ise A + B = B + A dır.

2) A, B ve C m × n matrisler ise A + (B + C) = (A + B) + C dir.

3) Her m × n A matrisi için A + (^) m (^0) n = (^) m (^0) n + A = A sartını sa ˘¸ glayan bir tek (^) m (^0) n matrisi

vardır. Bütün elemanları 0 olan bu matrise m × n sıfır matrisi denir. m = n ise (^0) n yazılır.

4) Verilen her m × n A matrisi için A + B = (^) m (^0) n olacak ¸sekilde bir (^) mBn matrisi vardır.

B = −A dır.

5) A m × n matris , B n × p ve C p × q matris ise A(BC) = (AB)C dir.

6) a) A ve B m × n matris ve C n × q matris ise (A + B)C = AC + BC

b) C m × n matris ve A ile B n × q matris ise C(A + B) = CA + CB

7) r, s reel sayılar, A m × n matris ve B n × q matris ise

(a) r(sA) = (rs)A = s(rA)

(b) A(rB) = r(AB)

8) a ve b reel sayılar, A m × n matris ise (a + b)A = aA + bA

9) A ve B m × n matrisler, a bir reel sayı ise a(A + B) = aA + aB

10) A m × n matris ise (A

′ )

′ = A

11) A ve B m × n matrisler ve c bir reel sayı ise

a) (cA)

′ = cA

′

b) (A + B)′^ = A′^ + B′

12) A m × n matris ve B n × p matris ise (AB)

′ = B

′ A

′

˙Ispat 12) A = [a ij ], B^ = [bij ]^ ve^ AB^ =^ C^ = [cij ]^ olsun.^ c

′ ij nün^ B

′ A

′ daki (i, j). eleman oldu ˘gunu

ispatlayaca ˘gız.

c

′ ij =^ cji^ =

n ∑

k=

ajkbki =

n ∑

k=

a

′ kj b

′ ik =

n ∑

k=

b

′ ika

′ kj

olup son ifade B

′ A

′ deki (i, j). elemandır ve ispat biter. 

Not 1.24 E ˘ger a ve b iki sayı ise ab = 0 olması için a = 0 veya b = 0 olmalıdır. Bu kural matrisler

için geçerli de ˘gildir, örne ˘gin:

A =

[

]

, B =

[

]

, A · B =

[

]

Not 1.25 a, b, c üç tane reel sayı olsun. ab = ac ve a 6 = 0 ise b = c dir. Bu sadele¸stirme kuralı

matrisler için geçerli de ˘gildir, örne ˘gin:

A =

[

]

, B =

[

]

ve C =

[

]

, AB = AC olup B 6 = C dir.

Örnek 1.26 Sıfırdan farklı bir A matrisi bulunuz ki ( 2 × 2 tipinde ) A

2 = AA = O 2 olsun.

Çözüm:

[

1 2

]

[

1 2

]

[

]

Örnek 1.27 Her 2 × 2 B matrisi için AB = BA sartını sa ˘¸ glayan bütün 2 × 2 A matrislerini belir-

leyiniz.

Çözüm: A =

[

a b

c d

]

alalım. B yerine

[

]

[

]

[

]

ve

[

]

matrisleri alı-

nırsa A matrisinde a = d,b = c = 0 elde edilir. B =

[

x y

z t

]

olsun.

[

a 0

0 a

]

[

x y

z t

]

[

x y

z t

]

[

a 0

0 a

]

her zaman do ˘gru oldu ˘gu için, (yani ax = xa, ay = ya, az = za, at = ta) bu ¸sekilde matrislerin

kümesi

{[

a 0

0 a

]

: a ∈ R

kümesidir.

4. A anti–simetrik ise ana diyagonaldeki elemanların hepsi 0 dır.

Teorem 1.31 A n × n matris ise; S bir simetrik matris ve K bir anti–simetrik matris olmak üzere

A = S + K ¸seklinde yazılabilir. Ayrıca bu yazılı¸s tek türlüdür.

˙Ispat: A = S + K oldu ˘gunu bir an için kabul edip S ve K yı bulalım. A′^ = S′^ + K′^ = S − K dır.

Simdi:¸

A = S + K

A′^ = S − K

=⇒ A + A

′ = 2S =⇒ S =

1 2

(A + A

′ ).

Yine buradan: K =

1 2

(A − A

′ ) bulunur.

Simdi¸ A = S + K oldu ˘gu; S nin simetrik ve K nın anti–simetrik oldu ˘gu görülebilir. 

Örnek 1.32 A =

matrisi verilsin.

S =

(A + A

′ ) =

7 2

3 2 7 2

3 2 3 2

3 2

, K =

(A − A

′ ) =

1 2

7 2 1 2

1 2 7 2

1 2

A = S + K dır. (Kontrol ediniz.)

Tanım 1.33 Bir m × n A = [aij ] matrisinin bazı (hepsi de ˘gil) satır ve/veya sütunları silinerek elde

edilen bir matrise A nın bir alt matrisi denir

Örnek 1.34 A =

ise A nın bir alt matrisi

[

]

dir.

Bu durumda alt matrislere parçalanan bir matristen söz edebiliriz. Tabii ki bu parçalanı¸s tek türlü

de ˘gildir.

Örnek 1.35 A =

a 11 a 12 a 13

. a 14 a 15

a 21 a 22 a 23

. a 24 a 25

a 31 a 32 a 33

. a 34 a 35

a 41 a 42 a 43

. a 44 a 45

matrisi A =

[

A 11 A 12

A 21 A 22

]

¸seklinde veya,

A =

a 11 a 12

. a 13 a 14

. a 15

a 21 a 22

. a 23 a 24

. a 25

a 31 a 32

. a 33 a 34

. a 35

a 41 a 42

. a 43 a 44

. a 45

A =

[

Aˆ

11

Aˆ

12

Aˆ

13

A^ ˆ

21

Aˆ

22

Aˆ

23

]

seklinde parçalanabilir. Bu ¸ ¸ sekildeki matrislere parçalı matrisler denir.

Örnek 1.36 Bir lineer sistemin ek matrisi (Bölüm 1.2) bir parçalı matristir. Yani AX = B ise bu

sistemin ek matrisi [A

.B] ¸seklinde yazılabilir.

E ˘ger A matrisi son yazılan ¸sekliyle parçalanmı¸ssa ve

B =

b 11 b 12

. b 13 b 14

b 21 b 22

. b 23 b 24

b 31 b 32

. b 33 b 34

b 41 b 42

. b 43 b 44

b 51 b 52

. b 53 b 54

B 11 B 12

B 21 B 22

B 31 B 32

ise

AB =

( ˆA 11 B 11 + ˆA 12 B 21 + ˆA 13 B 31 )

. Aˆ 11 B 12 + ˆA 12 B 22 + ˆA 13 B 32 )

( ˆA 21 B 11 + ˆA 22 B 21 + ˆA 33 B 31 )

. ( ˆA 21 B 12 + ˆA 22 B 22 + ˆA 23 B 32 )

oldu ˘gu gösterilebilir.

Singüler ve Singüler Olmayan (Non–singular) Matrisler

Tanım 1.37 A n × n tipinde bir matris olsun. E ˘ger AB = BA = In ¸sartını sa ˘glayan bir B n × n

tipinde matris varsa A’ya singüler olmayan (tersinir=tersi alınabilir) matris denir. Aksi halde A’ya

Teorem 1.42 A ve B singüler olmayan n × n matrisler ise AB matrisi de singüler de ˘gildir ve

(AB)

− 1 = B

− 1 A

− 1 dir.

˙Ispat:

(AB)(B

− 1 A

− 1 ) = A(BB

− 1 )A

− 1 = AInA

− 1 = AA

− 1 = In,

(B

− 1 A

− 1 )(AB) = B

− 1 (A

− 1 A)B = BInB

− 1 = BB

− 1 = In

olup (AB)

− 1 = B

− 1 A

− 1 oldu ˘gu görülür. 

Sonuç 1.43 A 1 , A 2 ,... , Ar n × n singüler olmayan matrisler ise A 1 A 2 · · · Ar matrisi de singüler

de ˘gildir ve (A 1 A 2 · · · Ar)

− 1 = A

− 1 r

A

− 1 r− 1

· · · A

− 1 1 dir.

˙Ispat: Benzer ¸sekilde yapılır.

Teorem 1.44 A singüler olmayan bir matris ise, A

− 1 matrisi de singüler olmayan bir matristir ve

(A

− 1 )

− 1 = A dır.

˙Ispat: (A−^1 )A = In ve A(A−^1 ) = In olup bu e¸sitliklerdeki birinci matrisin tersi ikinciye e¸sittir. O

halde (A

− 1 )

− 1 = A dır.

Teorem 1.45 A singüler de ˘gilse A

′ de singüler de ˘gildir ve (A

′ )

− 1 = (A

− 1 )

′ dır.

˙Ispat: AA−^1 = I n dir. Bu e¸sitli ˘gin iki tarafının transpozunu alırsak:

(A

− 1 )

′ A

′ = I

′ n

= In

dir. ¸Simdi de A

− 1 A = In e¸sitli ˘ginin her iki tarafının transpozunu alırsak:

A

′ (A

− 1 )

′ = I

′ n

= In.

Bu iki e¸sitlikten (A

′ )

− 1 = (A

− 1 )

′ elde edilir. 

Örnek 1.46 A =

[

]

matrisinin tersi A

− 1

[

3 2

1 2

]

dir. A

′

[

]

olup

(A

′ )

− 1

[

3 2

1 −

1 2

]

= (A

− 1 )

′

oldu ˘gu görülür.

Örnek 1.47 A simetrikse ve singüler de ˘gilse, A

− 1 ’in de simetrik oldu ˘gunu gösteriniz.

Çözüm : A simetrik oldu ˘gundan A = A

′ dür. (A

′ )

− 1 = (A

− 1 )

′ oldu ˘gunu biliyoruz (Teorem 1.45).

Burada A = A

′ oldu ˘gu için A

− 1 = (A

− 1 )

′ olup A

− 1 simetriktir.

Örnek 1.48 A singüler olmasın. AB = AC =⇒ B = C oldu ˘gunu gösteriniz. Ayrıca AB =

(^0) n =⇒ B = 0n dir. Gösteriniz.

Çözüm :

AB = AC =⇒ A

− 1 (AB) = A

− 1 (AC) =⇒ (A

− 1 A)B = (A

− 1 A)C =⇒ B = C,

AB = 0n =⇒ A

− 1 (AB) = A

− 1 (^0) n =⇒ (A

− 1 A)B = 0n =⇒ B = 0n

Lineer Sistemler ve Matrisin Tersi

A matrisi n × n tipinde ise AX = B sistemi n bilinmeyenli n denklemli bir sistemdir. A singü-

ler olmasın. Bu durumda A

− 1 mevcuttur ve AX = B e¸sitli ˘ginin her iki tarafını (soldan) A

− 1 ile

çarpalım.

AX = B =⇒ A

− 1 (AX) = A

− 1 B =⇒ (A

− 1 A)X = A

− 1 B =⇒ X = A

− 1 B.

Yani X = A

− 1 B bu sistemin bir çözümüdür. O halde A singüler de ˘gilse sistemin tek çözümü vardır.

1.5 Bir Matrisin E¸selon Formu

Tanım 1.49 Bir A m × n matrisi a¸sa ˘gıdaki 4 özelli ˘gi sa ˘glıyorsa bu matrise indirgenmi¸s satır e¸selon

formdadır denir.

(a) Bütün elemanları sıfır olan satırlar (varsa) matrisin en alt kısmındadır.

(b) Tamamı sıfır olmayan bir satırdaki, sıfır olmayan ilk sayı (ki buna ba¸s eleman denir) 1 dir.

(c) E ˘ger i. ve (i + 1). satırlar ardarda ve tamamı sıfır olmayan iki satır ise (i + 1). satırın ba¸s

elemanı i. satırın ba¸s elemanının sa ˘gındadır.

(d) E ˘ger bir kolon herhangi bir satırın ba¸s elemanını ihtiva ediyorsa, o kolondaki di ˘ger bütün ele-

manlar sıfırdır.

E ˘ger A matrisi (a), (b) ve (c) sartlarını sa ˘¸ glıyorsa bu matrise satır e¸selon formundadır denir. Benzer

bir tanım "indirgenmi¸s sütun e¸selon form" ve "sütun e¸selon form" için yapılabilir.