


Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
This course contains solution of non linear equations and linear system of equations, approximation of eigen values, interpolation and polynomial approximation, numerical differentiation, integration, numerical solution of ordinary differential equations. This lecture includes: Lagrange, Interpolation, Formula, Independent, Variable, Equidistant, Interval, Degree, Function, Polynomial
Typology: Lecture notes
1 / 4
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
NNeewwttoonn’’ss iinntteerrppoollaattiioonn ffoorrmmuullaaee ddeevveellooppeedd eeaarrlliieerr ccaann bbee uusseedd oonnllyy wwhheenn tthhee vvaalluueess ooff
tthhee iinnddeeppeennddeenntt vvaarriiaabbllee^ xx^ araree eeqquuaallllyy ssppaacceedd.. AAllssoo tthhee ddiiffffeerreenncceess ooff^ yy^ mmuusstt uullttiimmaatteellyy
bbeeccoommee ssmmaallll..
IIff tthhee vvaalluueess ooff tthhee iinnddeeppeennddeenntt vvaarriiaabbllee aarree nnoott ggiivveenn aatt eeqquuiiddiissttaanntt iinntteerrvvaallss,, tthheenn wwee
hhaavvee tthhee bbaassiicc ffoorrmmuullaa aassssoocciiaatteedd wwiitthh tthhee nnaammee ooff LLaaggrraannggee wwhhiicchh wwiillll bbee ddeerriivveedd nnooww..
LLeett^ yy^ ==^ ff^ (( xx )) bbee aa ffuunnccttiioonn wwhhiicchh ttaakkeess tthhee vvaalluueess,,^ yy 0 0
, y,y 1 1
,…,…yy nn
cocorrrreessppoonnddiinngg ttoo xx 00
,, xx (^11)
, …,…xx nn
. S.Siinnccee tthheerree aarree (( nn ++ 11)) vvaalluueess ooff yy cocorrrreessppoonnddiinngg ttoo (( nn + 1+1)) vvaalluueess ooff xx ,, wwee
ccaann rreepprreesseenntt tthhee ffuunnccttiioonn ff (( xx )) bbyy aa ppoollyynnoommiiaall ooff ddeeggrreeee nn ..
SSuuppppoossee wwee wwrriittee tthhiiss ppoollyynnoommiiaall iinn tthhee ffoorrmm ..
1 0 1
n n n f x A x A x A
− = + + "+
or in the form,
0 1 2
1 0 2
2 0 1
0 1 1
n
n
n
n n
y f x a x x x x x x
a x x x x x x
a x x x x x x
a x x x x x x (^) −
HHeerree,, tthhee ccooeeffffiicciieennttss^ aa k k
aarree ssoo cchhoosseenn aass ttoo ssaattiissffyy tthhiiss eeqquuaattiioonn bbyy tthhee (( nn^ ++ 11)) ppaaiirrss
(( xx ii
,, yy ii
).). TThhuuss wwee ggeett
y 0 (^) = f ( x 0 (^) ) = a 0 (^) ( x 0 (^) − x 1 (^) )( x 0 (^) − x 1 (^) )( x 0 (^) − x 2 (^) ) "( x 0 − xn )
Therefore,
0 0 ( 0 1 )( 0 2 ) ( (^0) n )
y a x x x x x x
Similarily,we obtain
1 1 ( 1 0 )( 1 2 ) ( (^1) n )
y a x x x x x x
and
i i i i i i i i i n
y a x x x x x x (^) − x x (^) + x x
n n n n n n
y a x x x x x x (^) −
SSuubbssttiittuuttiinngg tthhee vvaalluueess ooff^ aa 00
,, aa 11
, …,…,, aa n n
wewe ggeett
1 2 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 2 1
n n
n n
x x x x x x x x x x x x y f x y y x x x x x x x x x x x x
0 1 1 1
0 1 1 1
i i n i i i i i i i i n
x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x
− +
− +
TThhiiss ffoorrmmuullaa ccaann bbee uusseedd wwhheetthheerr tthhee vvaalluueess^ xx 00
,,^ xx 22
,, ……,,^ xx n n
araree eeqquuaallllyy ssppaacceedd oorr nnoott..
AAlltteerrnnaattiivveellyy,, tthhiiss ccaann aallssoo bbee wwrriitttteenn iinn ccoommppaacctt ffoorrmm aass
y = f ( ) x = L 0 (^) ( ) x y 0 (^) + L 1 (^) ( x 1 (^) ) y 1 + Li ( xi ) yi + "+ Ln ( xn ) yn
0
n
k k k
= (^) ∑ 0
n
k k k
= (^) ∑
Where
0 1 1 1
0 1 1 1
i i n i i i i i i i i n
x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x
− +
− +
WWee ccaann eeaassiillyy oobbsseerrvvee tthhaatt,,
( ) 1 i i L x = and (^) ( ) 0,. Li x (^) j = i ≠ j
TThhuuss iinnttrroodduucciinngg KrKroonneecckkeerr dedellttaa nnoottaattiioonn
1, if ( ) 0, if
i j ij
i j L x i j
FFuurrtthheerr,, iiff wwee iinnttrroodduuccee tthhee nnoottaattiioonn
0 1 0
n
i n i
TThhaatt iiss ∏( ) x iiss aa pprroodduucctt ooff (( nn ++ 11)) ffaaccttoorrss.. CClleeaarrllyy,, iittss ddeerriivvaattiivvee
∏′ ( ) x coconnttaaiinnss aa ssuumm ooff (( nn + 1+1)) tteerrmmss iinn eeaacchh ooff wwhhiicchh oonnee ooff tthhee
ffaaccttoorrss ooff wwiillll^ ∏( )^ x bebe aabbsseenntt..
WWee aallssoo ddeeffiinnee,,
k^ ( )^ (^ i ) i k
P x x x ≠
WWhhiicchh iiss ssaammee aass ∏ ( ) x eexxcceepptt tthhaatt tthhee ffaaccttoorr (( xx – – xx kk
)) iiss aabbsseenntt.. TThheenn
∏′ ( ) x = P 0 (^) ( ) x + P x 1 ( ) + "+ Pn ( ) x
BBuutt,, wwhheenn^ xx^ ==^ xx kk
,, aallll tteerrmmss iinn tthhee aabboovvee ssuumm vvaanniisshheess eexxcceepptt^ PP kk
(x(x kk
HHeennccee
( xk ) Pk ( xk ) ( xk x 0 (^) ) ( xk xk (^) − 1 )( (^) xk xk (^) + 1 ) ( xk xn ) ∏′ = = − " − − " −
k k k k k k
k k
P x P x L x P x x
x
x x x
FFiinnaallllyy,, tthhee LLaaggrraannggee’’ss iinntteerrppoollaattiioonn ppoollyynnoommiiaall ooff ddeeggrreeee nn ccaann bbee
wwrriitttteenn aass
0
0 0
n
k k (^) k k
n n
k k k k k k
x y x f x f x x x x
L x f x L x y
=
= =
∑
∑ ∑
As Lagrange’s formula for interpolating polynomial is given by,
1 2 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
2 2 2
2 2 2
x x x x x x x x x x x x y x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
2
2
x x
x x
Which is the required polynomial
x 1 2 -
F(x) 3 -5 -