Download Introduction to Quantum Mechanics and more Lecture notes Quantum Physics in PDF only on Docsity!
Catatan Mekanika Kuantum 1 Persamaan Schr¨odinger 3 Dimensi Acuan utama Gasiorowicz, Quantum Physics Ed. 3, Bab 8, Subbab 1, 4, 5
A. Persamaan Schr¨odinger 3 dimensi Persamaan Schr¨odinger 3 dimensi (3D) untuk sistem bermassa μ dalam keadaan tunak |ψ〉 dituliskan sebagai berikut:^1 ( pˆ^2 2 μ + Vˆ (ˆr)
|ψ〉 = E|ψ〉. (1)
Di sini ˆr adalah operator posisi dan ˆp operator momentum. Dalam representasi posisi r:
pˆ(r) = ℏ i ∇ (2) Vˆ (r) = V (r) (3)
dan persamaan Schr¨odinger menjadi: ( − ℏ
2 2 μ∇
(^2) + V (r)
ψ(r) = Eψ(r). (4)
Apabila, sebagai contoh, kita gunakan kerangka Cartesian, maka:
pˆ = ˆex pˆx + ˆey pˆy + ˆez pˆz (5) ˆr = ˆex xˆ + ˆey yˆ + ˆez ˆz (6) Vˆ (ˆr) = Vˆ (ˆx, ˆy, zˆ) , (7)
sehingga persamaan Schr¨odinger dituliskan sebagai: 1 2 μ
pˆ^2 x + ˆp^2 y + ˆp^2 z
|ψ〉 + Vˆ (ˆx, y,ˆ ˆz)|ψ〉 = E|ψ〉. (8)
Dalam representasi posisi:
pˆx = ℏ i∂x ∂ , pˆy = ℏ i∂y ∂ , pˆz = ℏ i∂z∂ (9) ˆx = x , yˆ = y , zˆ = z , (10)
dan persamaan Schr¨odinger menjadi:
− ℏ
2 2 μ
∂x^2 +^
∂^2
∂y^2 +^
∂^2
∂z^2
ψ(x, y, z) + V (x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z). (11) (^1) Sesungguhnya, μ adalah massa tereduksi (reduced mass) sistem yang terdiri dari 2 benda / partikel atau lebih.
Kita lanjutkan bekerja di ruang posisi dan ambil kasus khusus, yaitu:
V (x, y, z) = V 1 (x) + V 2 (y) + V 3 (z) , (12)
maka diperoleh persamaan Schr¨odinger berikut:
− ℏ
2 2 μ
∂x^2 +^
∂^2
∂y^2 +^
∂^2
∂z^2
ψ(x, y, z) + (V 1 (x) + V 2 (y) + V 3 (z)) ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
→
2 2 μ
∂^2
∂x^2 +^ V^1 (x)
ψ(x, y, z)
2 2 μ
∂^2
∂y^2 +^ V^2 (y)
ψ(x, y, z)
2 2 μ
∂^2
∂z^2 +^ V^3 (z)
ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z). (13)
Persamaan (13) memberi sinyal bahwa kita dapat lakukan separasi variabel. Dengan mengambil fungsi gelombang ψ(x, y, z) sebagai berikut:
ψ(x, y, z) = u(x)v(y)w(z) , (14)
teknik separasi variabel memberikan 3 persamaan Schr¨odinger terpisah, sehingga lebih mudah untuk diselesaikan:
− ℏ
2 2 μ
d^2 dx^2 u(x) +^ V^1 (x)u(x) =^ E^1 u(x)^ (15) − ℏ
2 2 μ
d^2 dy^2 v(y) +^ V^2 (y)v(y) =^ E^2 v(y)^ (16) − ℏ
2 2 μ
d^2 dz^2 w(z) +^ V^3 (z)w(z) =^ E^3 w(z)^ ,^ (17)
dengan E 1 + E 2 + E 3 = E. (18)
Apabila V 1 (x), V 2 (y), V 3 (z) memiliki bentuk fungsi yang sama, maka cukup satu persamaan yang kita selesaikan, misalkan persamaan (15) untuk mendapatkan u(x) dan E 1 , kemudian hasilnya kita gunakan juga untuk v(y) dan E 2 serta w(z) dan E 3.
Gerak sistem 3D tidak terbatas hanya pada gerak translasi, melainkan juga gerak rotasi. Den- gan demikian, bukan hanya momentum linier ˆp yang berperan, namun juga momentum angular Lˆ. Namun, dalam persamaan Schr¨odinger seperti di persamaan (1) tidak tampak operator mo- mentum angular. Berikut ini kita munculkan operator momentum angular secara eksplisit dalam hamiltonian, yang berarti juga dalam persamaan Schr¨odinger. Kita kerjakan dalam kerangka Cartesian secara umum, bukan dalam suatu representasi tertentu.
Kuadrat komponen Cartesian momentum angular diperoleh sebagai berikut:
Lˆ^2 x = (ˆy pˆz − ˆz pˆy) (ˆy pˆz − zˆ pˆy)
Dalam representasi posisi, kita dapatkan kuadrat operator momentum linier:
ˆp^2 = − ℏ^2 ∇^2 = r^12
[
L^ ˆ^2 − ℏ^2
r ∂r∂
r ∂r∂
− ℏ^2 r ∂r∂
]
= r^12
L^ ˆ^2 − ℏ^2 r ∂ ∂r −^ ℏ
(^2) r 2 ∂^2 ∂r^2 −^ ℏ
(^2) r ∂ ∂r
= r^12
L^ ˆ^2 − 2 ℏ^2 r ∂ ∂r −^ ℏ
(^2) r 2 ∂^2 ∂r^2
= − ℏ^2
∂^2
∂r^2 +
r
∂r −^
Lˆ^2
ℏ^2 r^2
dan persamaan Schr¨odinger:
− ℏ
2 2 μ
∂^2
∂r^2 +
r
∂r −^
Lˆ^2
ℏ^2 r^2
ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r). (26)
B. Persamaan Schr¨odinger dengan potensial sentral Pada kasus interaksi / gaya / potensial sentral, V (r) = V (r) dan persamaan Schr¨odinger menjadi:
− ℏ
2 2 μ
∂^2
∂r^2 +
r
∂r −^
Lˆ^2
ℏ^2 r^2
ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r) , (27)
sehingga lebih mudah diselesaikan dalam koordinat bola. Sistem bersifat invarian terhadap rotasi dan momentum angular tetap. Operator momentum angular komut dengan hamilto- nian, yang berarti ψ(r) juga merupakan fungsi eigen Lˆ^2 dengan nilai eigen ℏ^2 l(l + 1). Dengan demikian, persamaan Schr¨odinger menjadi:
− ℏ
2 2 μ
∂r^2 +
r
∂r −^
l(l + 1) r^2
ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r). (28)
Suku l(l + 1) dapat digabungkan dengan suku potensial V (r), sehingga kita lihat bahwa suku l(l + 1) berperan sebagai potensial, yang bersifat repulsif dan disebut sebagai potensial peng- halang sentrifugal (centrifugal barrier potential ):
− ℏ
2 2 μ
∂r^2 +
r
∂r
ψ(r) +
[
V (r) + ℏ
(^2) l(l + 1) 2 μr^2
]
ψ(r) = Eψ(r). (29)
Tiap suku pada persamaan (29), tidak termasuk ψ(r) = ψ(r, θ, φ), hanya bergantung pada r, dengan demikian, kita dapat gunakan teknik separasi variabel untuk memisahkan kebergan- tungan ψ(r) pada r dan pada θ, φ. Kita telah mengenal fungsi harmonik bola Ylm(θ, φ) sebagai fungsi eigen momentum angular, sehingga kebergantungan ψ(r) pada θ, φ dapat dinyatakan dalam Ylm(θ, φ). Jadi, ψ(r) dapat diberi label dan dinyatakan sebagai:
ψElm(r) = REl(r)Ylm(θ, φ) , (30)
dengan REl(r) disebut fungsi radial, yang bergantung hanya pada r. Kita masukkan ψElm(r) = REl(r)Ylm(θ, φ) ke persamaan (29), sebagaimana halnya menurut teknik separasi variabel,
dan diperoleh persamaan untuk fungsi radial REl(r), yang disebut persamaan radial, sebagai berikut: − ℏ
2 2 μ
( (^) d 2 dr^2 +
r
d dr
REl(r) +
[
V (r) + ℏ
(^2) l(l + 1) 2 μr^2
]
REl(r) = EREl(r). (31)
Persamaan radial (31) menjelaskan bahwa fungsi radial tidak ditentukan oleh nilai m, melainkan oleh energi E dan nilai momentum angular l. Kita lihat bahwa pada kasus gaya sentral prob- lem penyelesaian persamaan Schr¨odinger tiga dimensi tereduksi menjadi problem penyelesaian persamaan radial satu dimensi untuk mendapatkan fungsi radial REl(r). Kebergantungan sis- tem pada θ, φ tidak perlu lagi dicari, karena sudah diketahui yaitu sesuai fungsi harmonik bola Ylm(θ, φ).
Seperti ditunjukkan dalam beberapa literatur, persamaan (31) dapat lebih disederhanakan dengan menyatakan sebuah fungsi uEl(r) sebagai:
uEl(r) = rREl(r). (32)
Kita dapatkan:
d^2 dr^2 uEl(r) =^
d dr
d dr rREl(r) = (^) drd
r dr dREl(r) + REl(r)
= r d
2 dr^2 REl(r) +^
d dr REl(r) +^
d dr REl(r) = r d
2 dr^2 REl(r) + 2^
d dr REl(r) = r
( (^) d 2 dr^2 +
r
d dr
REl(r). (33)
Dengan demikian, persamaan radial dapat juga dituliskan sebagai berikut:
− ℏ
2 2 μ
d^2 dr^2 uEl(r) +
[
V (r) + ℏ
(^2) l(l + 1) 2 μr^2
]
uEl(r) = EuEl(r). (34)
Sebagai fungsi gelombang eigen hamiltonian, ψElm(r) bersifat ortogonal: ∫ drψ E∗′l′m′ (r)ψElm(r) =
0
dr r^2 R∗ E′l′ (r)REl(r)
∫ (^) π 0
dθ sin θ
∫ (^2) π 0
dφ Y (^) l∗′m′ (θ, φ)Ylm(θ, φ) = δ(E′^ − E)δl′lδm′m (35)
dan memiliki relasi kekomplitan: ∑ lm
dE ψElm(r′)ψ∗ Elm(r) = δ(r′^ − r) (36)
→
lm
dE REl(r′)Ylm(θ′, φ′)R∗ El(r)Y (^) lm∗(θ, φ) = δ(r
′ (^) − r) r^2
δ(θ′^ − θ) sin θ δ(φ
′ (^) − φ). (37)
yang menunjukkan fungsi gelombang bola (spherical wave function), dengan amplitudo yang mengecil selagi radius membesar. Suku pertama menggambarkan gelombang yang merambat menuju pusat dan suku kedua gelombang yang menjauhi pusat.
D. Partikel dalam kotak 3D Pada kasus partikel dalam kotak 3D, potensial V (r) sebagai berikut:
V (r) =
0 , (r < a) ∞ , (r > a)
Kita tidak tertarik dengan keadaan di luar kotak (r > a), melainkan dengan keadaan di dalam kotak (r < a). Karena di dalam kotak V (r) = 0, persamaan radial yang harus diselesaikan sama dengan persamaan radial bebas (40), dengan solusi di persamaan (43). Yang membedakan kasus partikel dalam kotak 3D dari kasus partikel bebas adalah syarat batasnya. Untuk partikel dalam kotak 3D, selain syarat batas REl(r) = 0 pada r = 0, berlaku juga syarat batas REl(r) = 0 pada r = a: REl(a) = 0 → jl(ka) = 0 , (48)
dengan demikian, ka adalah akar fungsi Bessel bola dan dari nilai akar tersebut diperoleh nilai k dan kemudian nilai energi E. Partikel dalam kotak 3D tidak dapat memiliki energi sembarang.
Apabila, contoh kasus, nilai ka besar sekali, maka jl(ka) bersifat seperti di persamaan (44), sehingga dari nilai akarnya diperoleh:
sin
ka − lπ 2
= 0 → kn =
n + 2 l
) (^) π a →^ En^ =
n + 2 l
) (^2) ℏ (^2) π 2 2 μa^2 ,^ (n^ = 0,^1 ,^2 , ...)^.^ (49)
Orang dapat melabel ulang fungsi gelombang menjadi Rnl(r) dan ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ). Ortogonalitas dan relasi kekomplitan ψnlm(r) dan Rnl(r) diberikan sebagai berikut: ∫ drψ n∗′l′m′ (r)ψnlm(r) = δn′nδl′lδm′m (50) ∑ nlm
ψnlm(r′)ψ nlm∗ (r) = δ(r′^ − r) (51) ∫ (^) ∞ 0
dr r^2 R n∗′l′ (r)Rnl(r) = δn′nδl′l (52) ∑ nl
Rnl(r′)R∗ nl(r) = δ(r
′ (^) − r) r^2.^ (53)
