Induksi matematika 123, Summaries of Educational Mathematics

Download Induksi matematika 123 and more Summaries Educational Mathematics in PDF only on Docsity!

prinsip

induksi

matematika

anggota

kelompok

Akira Auliatul Faizah

Afi Durotun Nafi’a (2110306030)

Aska Bachtiar (2120306070)

Induksi matematika berlaku seperti efek domino

Tahapan Induksi Matematika

Langkah Basis

 Digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan

benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan

bilangan bulat positif terkecil

 Buat implikasi untuk fungsi berikutnya benar untuk

setiap bilangan bulat positif

Langkah induksi

 Berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa

p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis

induksi.

Bila kedua langkah tersebut benar maka pembuktian

bahwa

p(n) benar untuk semua bilangan positif n.

1. Tunjukan: 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) = n^2 , untuk n bilangan positif. Jawab: ● (^) Langkah Basis Untuk n = 1, (2.1-1) = 1^2 1 = 1 (benar) ● (^) Langkah induksi Andaikan untuk n=k, 1 + 3 + 5 +... + (2k – 1) = k^2 (benar) Andaikan untuk n=k+ Akan dibuktikan: 1 + 3 + 5 +... + (2k – 1) + (2n– 1)= (n)^2 Bukti: 1 + 3 + 5 +... + (2k – 1) + (2(k+1) – 1) = (k+1)^2 k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 (k+1)^2 = (k+1)^2 Terbukti. 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) = n^2 , untuk n bilangan positif. Contoh :

Induksi Matematika Yang Dirampatkan Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n 0

. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(n 0 ) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n ≥ n 0 ,

Induksi Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal^ Matematika Kuat bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n

Contoh :

Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan

bulat

tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin

membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2)

dapat

dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan

prima.

Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

b. Jika n+1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan

bulat positif a yang membagi habis n+1 tanpa sisa.

Dengan kata lain,

(n+1)/ a = b atau (n+1) = ab

dalam hal ini, 2 ≤ a ≤ b ≤ n. Menurut hipotesis induksi, a

dan b

dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan

prima.

Ini berarti, n+1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian

bilangan

prima, karena n+1 = ab.

Latihan soal

1. 2 + 6 + 18 + … + 2(3n+1^ ) = 3n^ – 1 untuk sebarang bilangan asli

n

2. 1 + 4 + 12 + …. + n(2n+1^ ) = 1 + (n-1).2n^ untuk sebarang

bilangan asli n