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HAM SO MOT BIEN THUC § 1. Ham s6 mot bién sé thwc — Gidi han Ham sé m6t bién s6 thuc. 1. Ham mét bién va mét sé kién thie co ban: Xeét hai tap De R, YCR khac rong. Ham s6 f 1a mét quy tac lam tuong tmg mdi sé xe D véi mét va chi mét sé y € Y. Ta thong ky hiéu f:DoY xh y=f(x) hay con viét tat la y = f(x). Tap D thwong dugc goi la tap xac dink cua ham f . Tap gid tricuaham f latap hop f(D) = {y eY/dxeD:y Vidu : Xétham sé y = Vx. = f(x)} ¥ Tap xdc dinh la D =/ 0,+00) ¥ Tap gid tri la f(D) ={y €R/3xe[0,+00):y =—Vx} = (—=,0] # Mét s6 ham thuong gap trong chtrong trinh Toan cua bac Phé théng Trung hoc la Ham lity thtta: y =x" Ham mt: y=a* (a>0) Ham logarithm: y =log, x (0
F(x,) > f(x,) Ham f la ham bi chan trong (a,b) cD, néu 3m,MeR:ma): lim f(x) =L © lim f(x) = lim f(x) =L xa xa , , wos . x Vi du : Tinh gidi han lim — “ mh Giai : Ta co ‘ x . x : x : x Y lim =lim—=1 ¥ lim — = lim —~— =-1 xl)" Ix| x0" & x07 Ix| x07 (—x) Vi lim f(x) # lim f(x) nén khéng tn tai lim 4 x0! x—»07 x0 Ix| Mét sé tinh chat cua gidi han. Néu lim f(x) va lim g(x) ton tai httu han thi: xa i. limC=C voi C lahang sé Vv. lim fod _ tim £9) néu limg(x) 40 ii, Tim[ f(x) +g(%) |= lim f(%) “lim g(x) me gO) limg() iti, lim [c. f(x x) |= c.lim f(x) véi c la hang sé vi. lim (Le yf ’) = [im f(x) ype xa xa iv. lim [£(x) 800) | = lim f(x). lim g(x) vii. Néu f la ham so cap va a thudéc mién xdc dinh cua f thi lim f(x )= f(a) Vidul: ¥ lim(x° +x) = limx? +limx = 2 xl xl x1 v lim (a es lim a’ *—lima+lim 1 = (-1) -(-1)4+1 =1 vw lim| ( (x+2)( -3)|= = lim ( (x+2) ).lim(x—3) ¥ = fhesete [lim x—lim3 | v =(2+2][2-3]=-4 ¥ lim3x*= 3limx® = 3.2° = 24 x2 xed § 3. Dao ham va Vi phan cua Ham mot bién. a. Dinh nghia dao ham tai m6t diém. Cho ham f(x) xac dinh trén tap DCR. Xét (a,b) D va x, € (a,b). Néu F()~fF%) , gidi han lim t6n tai thi ta dinh nghia dao ham cua f(x) tai x, 9% XX, la gidi han nay, nghia la _ £ (x)= F(x) F'%) = tim roy, u Ta ky hiéu Ax =x—x, va Af(x,)= f(x, +Ax)— f(x,) thi fi) = lim “F0) Ax>o0) AX b. Mét s6 tinh chat cua dao ham. Cho hai ham f(x) va g(x) cé dao ham tai x thi ¥ [fete] =f @es'@) ¥ [f(x).g(x)] = f'@).(2) + £2.38") y (Aa) _ feet fl2.g"(2) g(x) [oF voi g(x) #0 c. Dao ham cua ham hop. Xét ham hop y= fi u( x) |. Gia str u(x) cé dao ham tai x, va f(u) cd dao ham tai u, =u(x,). Khidé, y= f{ u(x) | cé dao ham tai x, va thoa )= f(y) xu'(x) Dao ham m6t bén cia ham mit bién. Xét ham f(x) xac dinh trén tap DCR va x, €D. > Néu gidi han lim F()= FC) — fl) X>Xy x—- Xp ton tai thi ta dinh nghia dao ham bén phai cua ham f(x) tai x, la gidi han nay, nghia la fig) = lim £0) FO) — f(X) XXy x— Xq F=f) > Néu gidi han lim —————* Xx x-— Xo ton tai thi ta dinh nghia dao ham bén trdi cua ham f(x) tai x, la gidi han nay, nghia la f(x) = lim F(x)— f(x) roxy XX, Chit y : Pad=fOg)ak<0 & fi'(x,)=k<2 Vi phan cua ham mot bién. Xét ham f(x) xac dinh trén tap DCR va x, €D. Néu ta viét dugec Af (x) = f(%) +Ax)—f(x,) = AAx+O(Ax) trong dé A 1a mot hang sé di voi Ax va lim O(Ax)=0, thi ta dinh nghia vi phan cua f(x) tai x, la df (x,) = A.Ax Luc dé, tandi rang ham f(x) kha vi tai x, . Dinh ly. Ham f(x) cé dao ham tai x = ham f(x) kha vitai x va df(x) = f'(x)Ax Dé y rang, néu ta xét ham f(x) =x, thi ta kiém tra dé dang két qua dx = Ax. Do dé, ta cd thé viét 2. Dao ham cap cao va vi phan cap cao cua ham m6t bién. a. Dao ham cp cao. ¥ Dao ham cap hai cua f(x) la f"(x) )=[ Fo] ¥ Baoham cap ba cua f(x) la fn=[F"o] Y Daoham cap n cua f(x) 1a F(x) =| f(xy] b. Vi phan cap cao. Xét f(x) la mot ham kha vi trén tap DCR. Khi do df(x) = f'(x)dx la mot ham cua x (trong dé dx khéng déi). Vi phan cap hai cua f(x) la a f(x) = d(df(x)) d° f(x) = dl f'(x)dx] = LrlevicT ae = [7109 ds Fy i = f(xydxy = fx Tuong tu, ta co vi phan toan phan a n cua f(x) la a” F(x) = f (a)(dzx)" Thi 3. M6t s6 wing dung cua dao ham va vi phan. Quy tac L’Hospital. Xét khoang (a,B8) va x, €(a,f) Gia str f(x) va g(x) 1a cdc ham kha vi trong khoang (a,B)\{x,} va lién tuc tai x, . Néu lim f(x) =0, lim g(x) =0 va lim a t6n tai thi XXy XXy ¥>% Q(X lim 2) = lim fA) XX a(x) XX a(x) Chii 4 : phat biéu trén van dung trong cac trudng hop X > Xy XX xX —> too SAK 4K lim f(x) = va lim 9(x) = XX XX ee? Inx L=lim 7 xo x Inx 00 Vi lim —> co dang — — nen ap dung quy tac L’ Hospital, ta cd ] es ee L= lim 22 “|= lim (22) — lim = im —> —0 mto 7 ae) a+oo (x ) roto Dy rt Dey 
