Download Group definition and properties for abstract algebra and more Study notes Mathematical Methods in PDF only on Docsity!
1. GRUPLAR
Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve , G de bir ikili işlem olsun. ( G , ) cebirsel
yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir.
1) a b c , , G için a ( b c ) ( a b ) c (Birleşme özelliği) sağlanır.
a G
için a e e a a
olacak şekilde
e G
(𝑒 ye birim eleman denir) vardır.
3) a G için
1 1
a a a a e
olacak şekilde
1
a G
− 1
elemanına 𝑎 nın tersi
denir) vardır.
Not 1.2.
1) ( G , ) grubunun birim elemanı tektir. Gerçekten kabul edelim ki e ve 𝑒
′
iki birim
eleman olsun. e birim eleman olduğundan
a G
için a e e a a
olur. Özel
olarak 𝑎 = 𝑒
′
alınırsa 𝑒
′
′
′
bulunur. Aynı şekilde 𝑒
′
bir birim eleman
olduğundan a G için 𝑎 ∗ 𝑒
′
′
∗ 𝑎 = 𝑎 dır. Özel olarak a e alınırsa 𝑒 ∗ 𝑒
′
′
∗ 𝑒 = 𝑒 bulunur. Böylece 𝑒
′
= 𝑒 olur.
2) ( G , ) grubunun her
g G
elemanının tersi tektir. Kabul edelim ki g
nin tersi
1
g ve
2
g olsun. Bu halde
1 1
g g g g e ve
2 2
g g g g e eşitlikleri sağlanır.
Böylece
1 1 2 1 2 2 2
g g ( g g ) ( g g ) g e g g
olur.
Tanım 1.3. (
G
) bir grup ve a b , G
için
a b b a
değişme özelliği sağlanıyorsa
G grubuna değişmeli grup veya Abel grubu denir.
Tanım 1.4 ( G , ) grubu değişmeli değilse bu gruba değişmeli olmayan grup denir.
Tanım 1.5. G sonlu bir küme ise ( G , ) grubuna bir sonlu grup , aksi halde sonsuz grup
denir. Ayrıca 𝐺 nin eleman sayısına ( G , ) grubunun mertebesi denir ve
ile gösterilir.
Örnekler 1.6.
İki elemanlı bir küme üzerinde bir grup yapısı kurmaya çalışalım.
1) 𝐺 = {𝑒, 𝑎 } , * işlemine göre bir grup ve 𝑒 birim eleman ise 𝐺 grubunun işlem tablosu
aşağıdaki gibidir. Bir grup işlemi için bir çizelge verildiğinde, önce çizelgedeki birim
elemanını listeyeceğiz.
Tablodan anlaşıldığı gibi bu grup değişmelidir.
Şimdi üç elemanlı bir küme üzerinde bir grup yapısı kurmaya çalışalım.
2) 𝐺 = {𝑒, 𝑎, 𝑏 }, * işlemine göre bir grup ve 𝑒 birim eleman ise 𝐺 grubunun işlem tablosu
aşağıdaki gibidir.
Tablodan anlaşıldığı gibi bu grup değişmelidir.
n
Z n (𝑛 ≥ 1 ) olmak üzere ∀𝑎̅ , 𝑏
𝑛
için 𝑎̅ ⊕ 𝑏
= a + b
işlemi
altında (
n
Z , ) bir değişmeli gruptur. Bu grubun birimi 0 dır.
11 ) ℝ, reel sayılar kümesi olmak üzere 𝐺 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥
2
< 1 } olsun. x y , G
için
x y ( x y ) / (1 xy ) ile bir işlemi tanımlansın. ( G , ) nın bir değişmeli grup olduğunu
gösterelim.
a)
2
[( x y ) / (1 xy )] 1
2 2 2 2
x 2 xy y 1 2 xy x y
2
x )(1-
2
y ) 0
Böylece ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 için x y G dir.
b) x y z , , G
için x ( y z ) ( x y z xyz ) / (1 xy xz yz ) ( x y ) z
olduğundan x y z , , G için x ( y z ) ( x y ) z dir.
c) 𝑥 ∗ 0 = 0 ∗ 𝑥 = 𝑥 olduğundan 0 birim elemandır.
d) 𝑥 ∗ (−𝑥) = (−𝑥) ∗ 𝑥 = 0 olduğundan 𝑥 elemanının tersi −𝑥 dir.
e) x y , G için x y y x olduğundan ( G , ) bir değişmeli gruptur.
12 ) Aşağıdaki kümelerin verilen işlemi altında bir grup oluşturmadığını gösterelim.
a) a b max{ , } a b işlemi altında
( Z , )
b) a b min{ , } a b ile( Z , )
c) a b a b ab ile (ℝ, +)
Çözüm.
a) Grup değildir. 1, birim eleman fakat
2 a 1
olması max{ 2 , 𝑎} = 1 olmasını gerektirir.
Yani 2 nin tersi yoktur.
b) Birim elemanı yoktur. e gibi birim elemanı olsaydı a Z için 𝑎 ∗ 𝑒 = min
= 𝑎 ve
böylece a e
olurdu. e ,
Z
nin en büyük elemanı olurdu. Bu çelişki oluşturur.
c) 0 birim elemandır. 1 b 0 olması 1 = 0 olmasını gerektirdiğinden 1 in tersi yoktur.
1
2
, 𝑜) iki grup olsun. ∀
1
1
2
2
1
× 𝐺
2
için
1
1
2
2
1
2
1
2
ile tanımlanan “. “ işlemine göre 𝐺 1
× 𝐺
2
gruptur. Bu gruba 𝐺
1
ile 𝐺
2
nin direkt çarpımı
denir. Şimdi grup aksiyomlarının sağlandığını gösterelim.
i) ∀ (𝑎
1
1
2
2
1
× 𝐺
2
için
1
1
2
2
1
2
1
2
1
× 𝐺
2
olduğundan kapalılık özelliği sağlanır.
ii) ∀ (𝑎
1
1
2
2
3
3
1
× 𝐺
2
için
[(𝑎
1
1
2
2
)]. (𝑎
3
3
1
2
1
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
1
[(
2
2
3
3
]
1
1
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Dolayısıyla [(𝑎
1
1
2
2
)]. (𝑎
3
3
1
1
). [(𝑎
2
2
3
3
)] olur.
iii) 𝑒
1
2
sırasıyla 𝐺
1
ve 𝐺
2
nin birim elemanı iseler (𝑒
1
2
1
× 𝐺
2
de “. “ işlemine göre birimdir. Gerçekten, ∀ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐺
1
× 𝐺
2
için
1
2
1
2
1
2
1
2
olur.
iv) 𝐺
1
× 𝐺
2
deki herhangi bir (𝑎, 𝑏) elemanının tersi, 𝑎 ∈ 𝐺
1
nin “∗ “ işlemine göre tersi
− 1
ve 𝑏 ∈ 𝐺
2
nin “o “ işlemine göre tersi 𝑏
− 1
olmak üzere (𝑎
− 1
− 1
) dir.
14 ) Herhangi bir 𝑛 2 için 𝑍
𝑛
nin 𝑛 ile aralarında asal olan elemanlarının oluşturduğu
kümeyi 𝑍 𝑛
∗
ile gösterelim. Yani 𝑍
𝑛
∗
𝑛
: (𝑘, 𝑛) = 1 } olsun. 𝑍
𝑛
∗
kümesi için 𝑥̅ ⊙
𝑦̅ = 𝑥𝑦̅̅̅ işlemi tanımlansın. (𝑍 𝑛
∗
,⊙ ) bir gruptur. Gerçekten,
i) ∀ 𝑥̅ , 𝑦̅ ∈ 𝑍
𝑛
∗
için (𝑥, 𝑛)= (𝑦, 𝑛) = 1 iken (𝑥𝑦, 𝑛)= 1 elde edilir. O halde 𝑥̅ ⊙ 𝑦̅ ∈
𝑛
∗
dir.
ii) ⊙ işleminin 𝑍
𝑛
∗
üzerinde birleşme özelliğine sahip olduğu açıktır.
iii) 1
𝑛
∗
ve her 𝑘
𝑛
∗
için 1
olduğundan 1
𝑛
∗
nın birim elemanıdır.
iv) 𝑘
𝑛
∗
ise 𝑘 ile 𝑛 aralarında asal olduğundan 𝑘𝑥 + 𝑛𝑦 = 1 olacak şekilde
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 vardır. Buradan 𝑛̅ 𝑦̅ = 0
olduğundan 𝑘
tersinirdir.
Ayrıca ∀ 𝑥̅ , 𝑦̅ ∊ 𝑍
𝑛
∗
için 𝑥̅ ⊙ 𝑦̅ = 𝑥𝑦̅̅̅ = 𝑦𝑥̅̅̅ = 𝑦̅ ⊙ 𝑥̅ olduğundan (𝑍
𝑛
∗
,⊙) değişmeli bir
gruptur.
Önerme 1. 7. (Kısaltma Özelliği) ( G , ) bir grup ise a,b,c G için aşağıdaki ifadeler
sağlanır.
i) a b a c b c
ii) a c b c a b
İspat:
i) a b a c
1 1
a ( a b ) a ( a c )
1 1
( a a ) b ( a a ) c
b c
ii) a c b c
1 1
( a c ) c ( b c ) c
1 1
a ( c c ) b ( c c )
a e b e
a b
Tanım 1.8. 𝑛 ≥ 2 olmak üzere bir pozitif tam sayı ve
bir grup olsun. 𝑎
1
2
𝑛
𝐺 olmak üzere 𝑎 1
2
𝑛
1
2
𝑛− 1
𝑛
olarak tanımlanır.
Teorem 1.9.
𝑮𝒆𝒏𝒆𝒍 𝑩𝒊𝒓𝒍𝒆ş𝒎𝒆 𝑲𝒖𝒓𝒂𝒍𝚤
Bir
grubunda aşağıdaki gibi alınan herhangi
bir n ( ≥ 3 ) li çarpımda aşağıdaki kural geçerlidir :
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑛
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑛
olur.
İspat. 𝑛 = 𝑘 + 𝑙 olsun. Şu halde 𝑙 ≥ 1 olup ( * ) eşitliğini
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙
olarak ifade edebiliriz. Şimdi k yı sabit tutalım ve ( ** ) eşitliğinin her 𝑙 ∈ ℕ için doğru
olduğunu tümevarımla gösterelim.
𝑙 = 1 için Tanım 1.8 den
1
𝑘
𝑘+ 1
1
𝑘
𝑘+ 1
eşitliği vardır.
𝑙 > 1 ve iddia 𝑙 − 1 için doğru olsun. Yani
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
olsun. Tanım 1.8 den
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
elde edilir ve böylece
den
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
= [(𝑎
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
)]. 𝑎
𝑘+𝑙
eşitliği elde edilir. Birleşme özelliğinden
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
1
𝑘
)[(
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
]
ve Tanım 1.8 den
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
olduğundan
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
1
𝑘
𝑘+ 1
𝑘+𝑙− 1
𝑘+𝑙
eşitliğini ederiz. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Önerme 1.10. 𝐺 ≠ ∅ bir küme ve ∗ , 𝐺 de bir ikili işlem olsun. ∗ işlemi, kapalılık ve
birleşme aksiyomları ile aşağıdaki aksiyomları sağlasın:
A) ∀ 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 olmak şartıyla 𝑒 ∈ 𝐺 (sol birim) ve
B) 𝐺 de alınan herhangi bir 𝑎 elemanı için 𝑎
′
∗ 𝑎 = 𝑒 olmak şartıyla bir 𝑎
′
∈ 𝐺 ( 𝑎 nın
sol tersi ) bulunabilsin.
Bu takdirde kapalılık, birleşme, A), B) koşulları grup aksiyomlarına denktirler.
İspat. ∗ işleminin 𝐺 üzerinde kapalılık ve birleşme aksiyomlarını sağladığını kabul edelim.
Ayrıca A) ve B) özellikleri varsa (𝐺,∗) nın bir grup olacağını gösterelim :
′
′
′
′
′
′
′
′
olur. Şu halde
′
′
∈ 𝐺 elemanı 𝑎
′
elemanının sol tersi olmak üzere
′
′
′
[
′
′
′
]
[
′
]
′
′
′
′
elde ederiz. Böylece 𝑎
′
− 1
dir.
Şimdi sol birimin, 𝐺 de ∗ işlemine göre birim olduğunu yani, ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 için 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗
𝑒 = 𝑎 eşitliğini gösterelim :
B) den ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 için 𝑎
′
∗ 𝑎 = 𝑒 olacak şekilde 𝑎
′
∈ 𝐺 vardır. Böylece 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 ∗ (𝑎
′
′
) ∗ 𝑎 = 𝑒 ∗ 𝑎 elde ederiz.
Tersine, (𝐺, ∗) bir grup ise A) ve B) özellikleri sağlanır.
Not 1.11.
(𝐺,∗) grubunda ∗ işlemi yerine genellikle “ toplama” (+) veya “çapma” (. ) işaretleri
kullanılır.
İşlem
ise, gruba toplamsal grup denir. Bu durumda 𝑎 ∗ 𝑏 yerine, 𝑎 + 𝑏 yazılır.
Toplamsal grubun etkisiz elemanı 0 𝐺
ile ve bir 𝑎 ∈ 𝐺 elemanının tersi – 𝑎 ile gösterilir.
elde ederiz. Birleşme ve değişme özelliğini kullanarak,
(𝑎𝑏)
𝑘+ 1
= 𝑎 (
𝑏𝑎
𝑘
)
𝑏
𝑘
= 𝑎 (
𝑎
𝑘
𝑏 )
𝑏
𝑘
= (
𝑎𝑎
𝑘
)(
𝑏𝑏
𝑘
)
= 𝑎
𝑘+ 1
𝑏
𝑘+ 1
eşitliğini elde ederiz. Böylece ispatı tamamlamış oluruz.
Not 1.1 4. ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ için (𝑎
𝑚
− 1
− 1
𝑚
−𝑚
olduğundan Önerme 1.13, ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍
için doğrudur.
Tanım 1. 15. (𝐺,+) bir grup ve 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 olsun. 𝑛 ∈ 𝑍 için
𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑎
𝐺
−𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑎
ile tanımlanır.
Önerme 1. 16. (𝐺,+) bir grup ve 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 olsun. ∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍 için
i) 𝑚𝑎 + 𝑛𝑎 = (𝑚 + 𝑛)𝑎
ii) 𝑚(𝑛𝑎) = (𝑚𝑛)𝑎
iii) 𝑛
İspat. Önerme 1.13 deki ispat teknikleriyle yapabiliriz.
Şimdi Analiz derslerinden aşina olduğumuz birkaç grup örneğiyle bu bölümü bitirelim.
Örnekler 1.17.
1) 𝐶 = {(𝑎
𝑛
)
𝑛= 1
∞
: lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
𝑣𝑎𝑟} tüm yakınsak reel sayı dizilerinin kümesini göz önüne alalım. 𝐶
kümesinin bir toplamsal grup olduğunu gösterelim:
i)
𝑛
𝑛
) ∈ 𝐶 alalım. O halde lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎 ve lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝑏 olacak şekilde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
vardır. Böylece lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
𝑛
) = lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝑎 + 𝑏 yani (𝑎
𝑛
𝑛
olur. O halde 𝐶 toplama işlemi altında kapalıdır.
ii) Her (𝑎
𝑛
𝑛
𝑛
) ∈ 𝐶 için ((𝑎
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
olduğu açıktır (Birleşme özelliği).
iii) Sıfır dizisi yakınsak olup 𝐶 nin birim elemanıdır, çünkü her (𝑎
𝑛
) ∈ 𝐶 için (𝑎
𝑛
𝑛
) olur.
iv) (𝑎
𝑛
) ∈ 𝐶 alalım. O halde lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎 olacak şekilde bir 𝑎 ∈ ℝ vardır. Böylece
lim
𝑛→∞
(−𝑎
𝑛
) = −𝑎 yani (−𝑎
𝑛
) ∈ 𝐶 olur. Ayrıca (−𝑎
𝑛
) in (𝑎
𝑛
) dizisinin toplamsal
tersi olduğu açıktır.
2) [− 1 , 1 ] kapalı aralığı üzerinde sürekli reel değerli tüm fonksiyonların kümesini
𝐶[− 1 , 1 ] ile gösterelim, yani 𝐶[− 1 , 1 ] = { 𝑓: [− 1 , 1 ] → ℝ: 𝑓 𝑠ü𝑟𝑒𝑘𝑙𝑖 }. Bu durumda
(𝐶[− 1 , 1 ], +) bir gruptur:
i) [− 1 , 1 ] kapalı aralığı üzerinde sürekli iki fonksiyonun toplamı da süreklidir
(Kapalılık özelliği).
ii) Her 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐶[− 1 , 1 ] için 𝑓 +
iii) Sıfır fonksiyonu (Her 𝑥 ∈
[
]
için 0
= 0 fonksiyonu) [− 1 , 1 ] aralığı
üzerinde sürekli olup 𝐶[− 1 , 1 ] in birim elemanıdır, çünkü her 𝑓 ∈ 𝐶[− 1 , 1 ] için
𝑓(𝑥) + 0 (𝑥) = 𝑓(𝑥) olur.
iv) 𝑓 ∈ 𝐶[− 1 , 1 ] alalım. 𝑓 sürekli olduğundan – 𝑓 de sürekli olup 𝑓 in toplamsal
tersidir.
Sorular
1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriniz.
(a) 𝑒 ∈ 𝐺 birim eleman olmak üzere 𝑒
− 1
( b) 𝑎 ∈ 𝐺 olmak üzere (𝑎
− 1
− 1
( c) ∀ 𝑎
1
2
𝑛
∈ 𝐺 için
1
2
𝑛
− 1
𝑛
− 1
𝑛− 1
− 1
1
− 1
2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
(a) 𝑍 tamsayılar kümesi ve 𝐺 =
olmak üzere
(b) ℝ reel sayılar kümesi ve 𝑎. 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 1 olmak üzere
(c) ℝ
pozitif reel sayılar kümesi 𝑎 ∗ 𝑏 = √𝑎𝑏 olmak üzere (ℝ
3 ) ℝ reel sayılar olmak üzere ℝ
𝑛
1
2
𝑛
1
2
𝑛
olmak üzere
1
2
𝑛
) + (b
1
, b
2
, … , b
n
1
1
2
2
𝑛
n
işlemi altında (ℝ
𝑛
, +) nın bir grup olduğunu gösteriniz.
4 ) 𝑆 = ℝ − {− 1 } ve 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 olmak üzere (𝑆,∗) nin bir grup olup olmadığını
inceleyiniz.
− 5 ∶ 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ, 𝑎 ≠ 0 veya 𝑏 ≠ 0 } kümesi kompleks sayılardaki çarpma
işlemine göre bir gruptur. Gösteriniz.
6 ) ℝ reel sayılar olmak üzere (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ
2
= ℝ × ℝ olsun. (𝑥, 𝑦) → (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) ile
𝑎,𝑏
2
2
dönüşümünü tanımlayalım. 𝑇
2
𝑎,𝑏
: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} kümesinin bileşke
işlemi altında bir grup olduğunu gösteriniz.
7 ) ℚ rasyonel sayılar kümesi 𝑎 ∗ 𝑏 =
𝑎𝑏
2
olmak üzere
bir grup mudur?
19 ) Eleman sayısı çift olan bir grupta, tersi kendisine eşit olan birimden farklı bir eleman var
olduğunu ispatlayınız.
2 ∶ 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ} olmak üzere (ℚ( √
2 ), +) ve (ℚ( √
2 ) − { 0 },. ) nin
değişmeli grup olduğunu gösteriniz.
21 ) (𝐺,∗) bir grup ve 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 olsun. Şu halde, 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 ve 𝑦 ∗ 𝑎 = 𝑏 denklemlerinin
G içinde bir tek çözümü olduğunu ispatlayınız.
22) 𝑛 ≥ 1 olmak üzere {cos
𝑘. 360
𝑛
𝑘. 360
𝑛
𝑛
− 1 in kompleks kökleri ) kümesinin çarpım altında bir grup olduğunu gösteriniz.
23 ) Tam 1000 elemanlı abel grubu örneği veriniz.
24 ) Aşağıdaki ifadeler doğru/ yanlış mıdır? Doğru ise ispatlayınız, yanlış ise nedenini bir
örnekle açıklayınız.
(a) Bir grupta birden fazla birim eleman bulunabilir.
(b) 𝐺 sonlu bir grup, 𝑎 ∈ 𝐺 olsun. 𝑎
𝑛
= 𝑒 olacak şekilde bir 𝑛 ∈ ℕ vardır.
(c) (𝐺,∗) grup ise 𝑎 ∗ 𝑥 ∗ 𝑏 = 𝑐 denklemi 𝐺 de tek türlü çözüme sahiptir.
(d) (𝐺,∗) bir grup ve 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 olsun. 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑒 ise 𝑏 ∗ 𝑐 ∗ 𝑎 = 𝑒 dir.
(e) (𝐺,∗) bir grup ve 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 olsun. (𝑎 ∗ 𝑏)
− 1
− 1
− 1
dir.
(f) 𝐺 grubu iki elemanlı ise Abel grubudur.
(g) (𝐺,∗) bir grup ve 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 olsun. (𝑎 ∗ 𝑏)
2
2
2
dir.
(h) Bir grupta her lineer denklemin çözümü vardır.
KAYNAKLAR
[1] D.S.Malik, John.N.Mordeson, M.K.Sen, Abstract algebra, Mc Graw – Hill International
Editions,1997.
[2] Fethi Çallıalp, Örneklerle Soyut Cebir, Birsen Yayınevi, 2011.
[3] Göksel Ağargün, Erol Balkanay, Nilgün Aygör, Soyut Cebir, 2000.
[4] Joseph A.Gallian, Contemporary Abstract Algebra,1992.
[5] John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra.
[6] Thomas W. Hungerford, Algebra,Springer.
