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Solutions exercices supplémentaires
Chapitre 6 : Lois continues
Question 1
L'usine ALCAN fabrique entre autres des barres d'aluminium de 2 mètres de long en moyenne
pour l'industriel GM. Soit X la longueur exacte en mètres d'une barre sortant de l'usine et
admettons que X suit une distribution normale de paramètres E(X) et Var(X) et on suppose que
E(X 2 ) = 4.01.
a) Déterminer les paramètres caractéristiques E(X) et Var(X). (2 points)
Solution :
E(X) = 2 selon l’énoncé du problème.
On sait que la variance se calcule en appliquant la formule suivante :
Var(X) = E(X^2 ) – (E(X))^2 = 4.01 – 2^2 = 4.01 – 4 = 0.
Ainsi, on peut affirmer que X ∼∼∼∼ N(2, 0.01).
b) Quelle est la probabilité qu'une barre sortant de l'usine mesure :
b1) entre 1.98 et 2.02 mètres? Solution :
Posons P (1.98 ≤ X ≤ 2.02) = P( . √. < Z <^
. √. ) = P(-0.2 < Z < 0.2) = P(Z < 0.2) – P(Z < -0.2) = 0.5793 – 0. = 0.
b2) moins de 1.96 mètre?
Solution : Posons P (X ≤ 1.96) = P(Z < . √.^ ) = P(Z < -0.4) = P(Z > 0.4) = 0.
b3) plus de 2.01 mètres?
Solution : Posons P (X ≥ 2.01) = P(Z > . √.^ ) = P(Z > 0.1) = 1 – P(Z < 0.1) = 1 – 0.5398 = 0.
Question 2
La représentation graphique de la fonction de densité (^) f ( x )d’une variable aléatoire (^) X se
présente comme suit :
- Déterminer la valeur numérique de k pour que la fonction f ( x ) soit une fonction de
densité.
Réponse : L’aire sous la courbe doit donner 1. Nous pouvons additionner l’aire du triangle avec l’aide du rectangle et égaler cette somme à 1. Ainsi :
Aire sous la courbe = Aire du triangle + Aire du rectangle = 1
(Base du triangle * Hauteur du triangle / 2) + (Base du rectangle * Hauteur du rectangle) = 1
(2 * k / 2) + (3 * k) = 1 k + 3k = 1 4k = 1 k = 0.
k
f ( x )
x
0
- Calculer P(4 ≤ X ≤ 7) en utilisant la fonction de densité.
Réponse :
Il s’agit de calculer l’aire sous la courbe entre x = 4 et x = 7, ce qui revient à déterminer l’aire sous la courbe entre x = 4 et x = 5 (puisque la densité vaut 0 lorsque x > 5). Cela revient à calculer l’aire d’un rectangle dont la base vaut 1 et la hauteur vaut 0.25 ce qui donne 0.25!
P(4 ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ 7) = 0.
Question 3
Dans une station d'essence du boulevard Laurier, on estime qu'il arrive en moyenne 10 véhicules par heure. Calculer la probabilité que le temps d'attente (en minutes), pour le préposé aux pompes de cette station entre 2 clients consécutifs, soit d'au moins 20 minutes?
Réponse :
Soit Y = temps entre 2 véhicules La loi de Y peut être modélisée par la loi exponentielle puisque cette dernière s’avère utile pour expliquer le temps écoulé jusqu’à un certain événement. On dit alors que Y ∼ Exp(μ) où le paramètre μ représente le temps moyen entre chaque occurrence de l’événement en question.
10 véhicules par 60 minutes équivaut à 1 véhicule par x minutes où x = 1 * 60 / 10 = 6 (par une simple règle de trois). Il s’écoule donc 6 minutes en moyenne entre l’arrivée de 2 clients.
On a donc que Y ∼ Exp(6) P(Y > 20) = 1 – P(Y ≤ 20) = 1 – ( 1 – e-20/6) = e-20/6^ = 0.
Question 4
Dans un petit aéroport, on s’intéresse au temps X (exprimé en minutes) qui s'écoule entre l'arrivée de deux avions. Sachant que l'intervalle de temps moyen entre l'arrivée de 2 avions est de 25 minutes, trouvez :
a) la densité de probabilité f(x) et la fonction de répartition F(x);
Solution :
Soit X la variable aléatoire représentant le temps qui s'écoule entre l'arrivée de deux avions, X ∼ Exp (25), ainsi la fonction de densité d’une variable aléatoire exponentielle est :
( )
e si x 0
0 si x 0
f X x x/ 25
La fonction de répartition sera alors :
( )
1 - e si x 0
0 si x 0
FX x -x/ 25
b) la probabilité que l'intervalle de temps entre l'arrivée de 2 avions soit : i) supérieur à 20 minutes; ii) compris entre 1/4 et 1/2 heure;
Solution :
i) P(X > 20) = 1 - P(X ≤ 20) = 1- F(20) = 1-(1-e-20/25) = 0.
ii) P( ¼ d’heure ≤ X ≤ ½ heure) = P(15 min. ≤ X ≤ 30 min.) = F(30) – F(15) =
(1-e-30/25) – (1-e-15/25) = 0.6988 – 0.4512 = 0.
c) la variance de X.
Solution : Var(X) = μ^2 = 25^2 = 625 minutes^2
Question 5
Un investisseur a acheté 25 000 actions de la compagnie MQT inc. pour les revendre dans un an au prix du marché. L’action de MQT vaut 7.50 $ en ce moment, mais au cours de la prochaine année, avec les fluctuations du marché boursier, le prix de l’action de MQT pourrait évoluer à la hausse ou à la baisse, de façon aléatoire. Par exemple, si le prix de l’action augmente à 8.50 $ dans un an, alors l’investisseur fera un gain de 25 000 $, mais si l’action baisse à 7 $, alors il aura perdu 12 500 $ dans cette affaire. Supposons que la variation nette du prix de cette action au cours de la prochaine année soit donnée par une variable aléatoire continue X ayant la fonction de densité f(x) représentée par le graphique ci-dessous :
f(x)
h
x 0 -5 10
Solution :
L’investisseur s’est procuré 25 000 actions. Afin qu’il subisse une perte de 50 000$ ou plus, la valeur de l’action doit chuter d’au moins 2$ chacune. Il s’agit donc de calculer l’aire sous la courbe de la fonction de densité entre -5 et -2.
Calculons alors l’aire du triangle dans cet intervalle. Nous devons toutefois calculer la hauteur du triangle. Cette hauteur est donnée par la valeur prise par la densité f(x) au point x = -2. Selon l’équation de la densité,
f(x) = h (x + 5) / 5 = (^) (x + 5) / 5 = 2 * (x + 5) / 75
f(-2) = 2 * (-2 + 5) / 75 = 2/
Aire du triangle = Base * Hauteur / 2 = (-2 - -5) * (2/25) / 2 = 3 / 25 = 0.
Question 6
On vous demande, à titre d’étudiant en administration, d’aider le propriétaire d’une PME à préparer le budget annuel. Parmi les dépenses de l’entreprise, il y a le 2e^ remboursement annuel de 10 % d’un emprunt technologique d’un million de dollars ajouté au paiement des intérêts sur le solde non remboursé. Plus spécifiquement, l’entreprise doit prévoir le remboursement de 100 000 $ et les intérêts sur le solde de 900 000 $ à un taux d’intérêt à être fixé au cours des prochains mois.
Afin d’étudier l’incertitude entourant ce taux d’intérêt et, par conséquent, le montant à inscrire au poste budgétaire concerné, vous entreprenez d’estimer la distribution de probabilité associée au taux d’intérêt en vigueur le 1er^ août prochain. Après plusieurs rencontres avec des analystes bancaires, vous convenez que la variable aléatoire R représentant le taux d’intérêt au 1er^ août prochain est définie par la fonction de densité suivante :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 r
h
f(r)
c'est-à-dire un taux d’intérêt r variant entre 7 % et 11 % avec un taux modal à 9 %.
Pour la prochaine rencontre avec le propriétaire de la PME, on vous demande de préparer un rapport impliquant, entre autres, les éléments suivants :
a) La hauteur h de la fonction de densité f(r) ;
Solution :
On sait que l’aire du triangle doit être égale à 1. Alors 1 alors 1 / 2 2
4 2 = = h = bxh xh
b) La probabilité que le versement soit plus élevé que 190 000 $. Supposez que f(x) = 0.25x – 1.75 lorsque x ε (7,9) et f(x) = -0.25x + 2.75 si x ε (9, 11).
Solution :
Le versement de l’entreprise correspond à 100 000$ + les intérêts sur le solde de 900 000$. Ainsi, un versement supérieur à 190 000$ équivaut à payer des intérêts plus grands que 90 000$. Or, ce montant représente un taux d’intérêt de 10% (puisque 10% * 900 000 = 90 000). Il s’agit donc de calculer la probabilité que le taux d’intérêt excède 10%.
- 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 1 3 1 4
h
r
?
P(R > 10) = aire du triangle en jaune = Base * Hauteur / 2 = 1 * Hauteur / 2
La hauteur est simplement la valeur de f(x) au point x = 10. Selon l’énoncé du problème : f(x) = -0.25x + 2.75 = -0.25 (10) + 2.75 = 0.
P(R > 10) = 1 * 0.25 / 2 = 1/8 = 0.
P(Z > (^) ) = 0.25 (où Z ∼ N(0,1))
Quel est le point tel qu’on retrouve 25% de la probabilité à la droite de ce point dans le cas d’une variable aléatoire de loi N(0,1)? Selon la table de cette distribution, on voit que P(Z < 0.67) = 0.7486 et P(Z < 0.68) = 0.7517). On en déduit que P(Z < 0.675) ≈ 0.75, et
donc que P(Z > 0.675) ≈ 0.25. Puisqu’on avait ci-haut que P(Z > (^) ) = 0.25 alors
nécessairement 0.675 doit être égal à 6 / σ (car les deux équations sont identiques!).
σ = 8.
σ^2 = (8.888889)^2 = 79.
Question 8
Le revenu mensuel moyen des habitants de Ville Marguerite est distribué selon une loi normale avec une moyenne de $3000 et un écart type de $500.
a. Le maire de Ville Marguerite gagne $2250 par mois. Quel est le pourcentage des résidants de Ville Marguerite qui gagnent plus que le maire?
X = revenu mensuel d’un habitant de Ville Marguerite X ∼ N(3000, 500^2 )
P(X > 2250) = P(Z >
) = P(Z > -1.5) = P(Z < 1.5) =^ 0.
b. Les individus ayant un revenu de moins de $1985 par mois ne paient pas de taxes municipales. Quel est le pourcentage des résidents qui bénéficient d’une exemption de taxes municipales?
P(X < 1985) = P(Z <
) = P(Z < -2.03) =^ 0.
c. Quels sont les revenus minimum et maximum pour 95% des résidents dont le salaire se situe au centre de l’échelle salariale?
On cherche les valeurs a et b qui sont telles qu’on a P( a < X < b ) = 0.95 avec
P(X < a ) = 0.025 et P(X > b ) = 0.025.
P(X > b ) = 0. P(Z > ) = 0. Dans la table de la loi N(0,1) on trouve que le point ayant une probabilité de 0.025 à sa droite est 1.96 (car P(Z < 1.96) = 0.975). On a donc nécessairement 1.96 = . En résolvant cette équation on trouve que b = (1.96 * 500) + 3000 = 3980.
On applique un raisonnement similaire pour déterminer la valeur de a. P(X < a ) = 0. P(Z < ) = 0. Dans la table de la loi N(0,1) on trouve que le point ayant une probabilité de 0.025 à sa gauche est -1.96. On a donc nécessairement -1.96 = . En résolvant cette équation on trouve que a = (-1.96 * 500) + 3000 = 2020.
d. Deux cents résidents ont un revenu d’au moins $4400 par mois. Quelle est la population de Ville Marguerite?
Dénotons par n la population de Ville Marguerite. P(X > 4400) = P(Z > ) = P(Z > 2.8) = 1 – P(Z < 2.8) = 1 – 0.9974 = 0.0026. 200 personnes équivalent à 0.26% de la population n personnes équivalent à 100% de la population Par une simple règle de trois, on trouve que n = 200 * 100 / 0.26 = 76 923 habitants.
Question 9
Le temps nécessaire à des étudiants de statistiques afin de compléter un examen en statistiques est distribué d’une façon uniforme et varie entre 40 et 60 minutes.
a. Trouver l’expression mathématique pour la fonction de densité de probabilité.
Définissons T comme le temps nécessaire pour compléter l’examen de statistiques, où a=40 et b=60. On a alors : 20
( )^1 =^1 −
= b a
f t =0.05 si 40 ≤ t ≤ 60, et f(t) = 0 sinon.
b. Calculer la probabilité qu’un étudiant prendra entre 45 et 50 minutes pour compléter l’examen.
P(45 ≤ T ≤ 50) = Aire sous la courbe de la densité entre x = 45 et x = 50 (il s’agit simplement d’un rectangle) = Base * Hauteur = (50 - 45) * 0. = 0.
P(X > b ) = 0.
P(Z > ^ .) = 0. Dans la table de la loi N(0,1) on trouve que le point tel qu`on retrouve 11.5% de la probabilité à sa droite est 1.20 (car P(Z < 1.20) = 0.8849 et donc P(Z > 1.20) = 0.1151 ≈ 0.115). Nous avons donc : . = 1. b = (10 * 1.20) + 35.6 = 47.
P(X < a ) = P(Z < . ) = 0. Selon la table de la loi N(0,1), il y a 11.5% de la probabilité à gauche du point -1.20. On a donc : . = -1. a = (-1.20 * 10) + 35.6 = 23. L’intervalle cherché est donc (23.6, 47.6).
Question 11
Une usine de la Rive-Sud produit des boissons gazeuses. Pour un produit donné, l'emballage indique un volume net de 500 ml par bouteille. On estime que le volume en ml contenu dans une bouteille suit une loi normale de moyenne 520 et d'écart type 20. Dans les tests de contrôle de qualité, une bouteille est refusée si son volume est inférieur ou égal à 490 ml.
Calculez la probabilité qu'une bouteille donnée soit refusée par l'inspecteur de qualité.
Soit X la variable aléatoire qui correspond au volume dans une bouteille. On a que X ∼ N(520, 202 ). Une bouteille sera refusée si le volume est inférieur ou égal à 490 ml. La probabilité qu'une
bouteille soit refusée est donc: 490 520 490 520 1 5 0 0668 20 20
P( X ≤ ) = P( X^ −^ ≤ − ) = P( Z ≤ − , ) = ,
Question 12
Le service d’entretien d’un édifice gouvernemental a décidé de changer la pile de chacune des 120 horloges de l’édifice une fois par année (365 jours). Le service sait que la durée de vie de la marque de pile utilisée obéit approximativement à une loi normale, avec une moyenne de 430 jours et un écart type de 40 jours.
Quelle est la probabilité qu’une pile ne fonctionne plus au moment de la remplacer?
Soit X la durée de vie d'une pile On a que X ~ N( 430, 40^2 ). La probabilité qu'une ampoule ne fonctionne pas au bout de 365 jours est
P(X < 365)= P( <^
) = P(Z < -1.63) =^ 0.
Question 13
Le registraire d’une université a étudié les moyennes pondérées cumulatives (MPC) des étudiants sur plusieurs années. Supposez que la distribution de la MPC soit à peu près normale, avec une moyenne de 3.10 et un écart type de 0.30.
a) Quelle est la probabilité qu’un étudiant de l’université ait une MPC entre 2.00 et 3.00?
Soit X = la MPC d’un étudiant universitaire Alors, X~ N(3.1 , 0.3^2 )
P(2 ≤ X ≤ 3) = P(
. . <^
. . <^
. . ) = P(-3.67 < Z < -0.33) = P(Z < -0.33) – P(Z < -3.67) = 0.3707 – 0 = 0.
b) Le nombre d’étudiants de l’université s’élève à 10 000. Combien d’étudiants figurent sur la liste du doyen si cette liste n’inclut que ceux qui affichent une MPC supérieure à 3.70?
P(X ≥ 3.7) = P(Z ≥ (3.7-3.1) / 0.3) = P(Z ≥ 2) = 1 – P(Z < 2) = 1 – 0.9772 = 0. Le nombre d'étudiants sur la liste du doyen est donc 0.0228 * 10 000 = 228.
Question 14
Les ordinateurs de la firme Info-MQT sont reliés à un réseau informatique dont le temps d'accès est loué à un fournisseur externe. On estime que la variable aléatoire Y, donnant le temps réseau utilisé en centaines d'heures pendant un mois, a la fonction de densité suivante :
fY (y) =
k( 7 − y) 0
si 2 ≤ y ≤ 4 ailleurs
a) Trouvez la probabilité qu'une transaction future prenne entre 3 et 7 minutes.
Solution : On cherche P(3 ≤ X ≤ 7)?
( 1 1 ) 0 , 6826 4
P ≤ X ≤ = P Z P Z
b) Trouvez la probabilité qu'une transaction exige 6 minutes ou moins.
Solution : On cherche P(X ≤ 6)?
( 0 , 5 ) 0 , 6915 4
PX ≤ = P Z ≤ PZ
c) Calculez la valeur x telle que :
c.1) il y a 10 % de chances que le temps de la transaction soit inférieur à ce x ;
Solution :
On cherche la valeur x satisfaisant P(X ≤ x) = 0. P(Z < (^) √ ) = 0.
Selon la table de la loi N(0,1), le point tel qu’on retrouve une probabilité de 0.1 à sa gauche est -1.28 (car on y voit que P(Z < -1.28) = 0.1003 ≈ 0.1), ce qui implique que : = -1. x = 2.
c.2) il y a 15 % des chances que le temps de la transaction soit supérieur à ce x ;
Solution :
On cherche la valeur x satisfaisant P(X > x) = 0.
P(Z > ) = 0. Selon la table de la loi N(0,1), le point tel qu’on retrouve une probabilité de 0.15 à sa droite est 1.035 (car on y voit que P(Z < 1.03) = 0.8485 et P(Z < 1.04) = 0.8508, donc P(Z < 1.035) ≈ 0. et ainsi P(Z > 1.035) ≈ 0.15), ce qui implique que : = 1. x = 7.
Question 16
La réceptionniste de la compagnie Marco a constaté que la période entre 15 heures et 16 heures est relativement tranquille. Elle observe que, en moyenne durant cette période, elle reçoit seulement deux appels par 10 minutes et que ces appels sont faits d’une façon tout à fait aléatoire.
a) Si elle vient de recevoir un appel, déterminer la probabilité qu’elle attende plus que 5 minutes avant de recevoir le prochain appel.
Solution :
Soit Y = temps écoulé entre 2 appels (valide pour la période de temps entre 15h et 16h).
Cette variable se modélise bien avec la loi exponentielle. Le paramètre μ correspond au temps moyen entre 2 occurrences de l’événement en question.
2 appels par 10 minutes
Equivaut à
1 appel par μ minutes
On trouve alors que μ = 1 * 10 / 2 = 5
Ainsi, Y ∼ Exp(5)
P(Y > 5) = 1 – P(Y ≤ 5)
= 1 – (1 – e-5/5)
= e-1^ = 0.
b) Déterminer la probabilité que le temps écoulé entre deux appels consécutifs durant cette heure varie entre 15 et 20 minutes.
Solution :
P(15 ≤ Y ≤ 20) = P(Y ≤ 20) – P(Y ≤ 15)
= (1 – e-20/5) – (1 – e-15/5)
= e-3^ – e-
= 0.
c) Déterminer l’espérance et la variance de la variable aléatoire désignant le temps écoulé entre deux appels consécutifs durant cette heure.
