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Solutions exercices supplémentaires
Chapitre 8 : Intervalles de confiance
Question 1
Un test mesure la teneur en alcool dans le sang avec une erreur aléatoire normalement
distribuée d'espérance nulle et d'écart type 0.01 mg/L. Un individu intercepté par la police
lors d'un contrôle routier passe le test à trois reprises de façon indépendante. Les résultats
obtenus sont de 0.10, 0.08 et 0.09 mg/L.
a) Calculez un intervalle de confiance à 95 % pour μ, le taux d'alcoolémie réel de ce
conducteur.
Soit Xi = la teneur en alcool dans le sang du conducteur lors du test numéro i ( i = 1,2,3)
On sait que Xi ∼ N(μ, 0.01^2 ).
n = 3 < 30, la loi de la population est normale et σ^2 = 0.01^2 est connue donc l’IC pour μ
est :
ᡶ̅ ± zα/2 * σ / (^) √ᡦ
où :
- 1 – α = 0.95 donc α = 0.05 et ainsi zα/2 = z0.025 = 1.
- ᡶ̅ = (0.10 + 0.08 + 0.09) / 3 = 0.
Ainsi, l’IC pour μ est :
0.09 ± 1.96 * 0.01 / (^) √3 = 0.09 ± 0.
= [ 0.0787, 0.1013 ]
b) Combien d'alcootests devrait-on faire au minimum pour que, 19 fois sur 20, la moyenne de n lectures mutuellement indépendantes mesure la véritable teneur d'alcool dans le sang d'un individu avec une marge d'erreur d'au plus ± 0.0025 mg/L?
1 – α = 19 / 20 = 0. Cela implique que zα/2 = z0.025 = 1.
(^22) 2 0 , 0025
×
E
Z
n
α^ σ = 61.4 donc au moins 62 alcootests.
Question 2
On s’intéresse au nombre de commandes de produits de bureau par mois faites par des
petites entreprises. Un sondage récent effectué par un bureau indépendant de recherche
pour le compte du secteur canadien des produits de bureau donne, pour 80 petites
entreprises de la région de Québec, une moyenne de 2.4 et un écart type de 0.608.
a) Déterminer un intervalle de confiance à 99 % pour le nombre moyen de commandes par mois. Peut-on affirmer à l’aide de cet intervalle qu’il est vraisemblable que le nombre moyen de commandes par mois est de 2.2? Discuter.
1 – α = 0.99 donc α = 0.01. Ainsi, α / 2 = 0.005 ce qui fait en sorte que zα/2 = z0.005 = 2.575.
On sait également que ᡶ̅ = 2.4, s = 0.608 et n = 80.
[ 2 , 225 ; 2 , 575 ] 80
2
^ =
= ± ×
n
IdeC x Z s αααα
Puisque la valeur 2.2 n’est pas incluse dans l’intervalle de confiance, il apparait invraisemblable que le nombre moyen de commandes par mois soit de 2.2.
b) Quelle devrait être la taille de l’échantillon pour que l’erreur soit au plus de 0.10 toujours avec la même précision exigée?
E = 0.
σ est inconnu, donc on prend σ = s = 0.608 (c’est-à-dire qu’on estime l’écart type théorique par l’écart type observé dans l’échantillon de taille 80).
(^22) (^2) =
×
×
E
Z S
n
αα αα
La taille d’échantillon doit donc être de 246 ou plus afin d’obtenir une erreur maximale de 0. selon un niveau de confiance de 99%.
c) Déterminer le nombre de personnes qu’il aurait fallu interroger pour que l’on puisse affirmer avec un niveau de confiance de 98 % que l’erreur commise en utilisant la proportion obtenue dans l’échantillon comme estimation de la vraie valeur de la proportion ne dépasse pas 0.02.
On cherche la taille de l’échantillon : (^2)
2 2 (^1 ) E
z p p n
=^ αααα
1 – α = 0.98 donc α = 0.02 et ainsi zα/2 = z0.01 = 2.
E = 0.
ᡨ̅ = 0.
× −
2
0 , 02
n 3054.
Il aurait fallu interroger au moins 3055 personnes pour commettre une erreur d’au plus 0.02 lors de l’estimation de la proportion des gens en faveur des centrales nucléaires (avec un niveau de confiance de 98%).
Question 4
Des données historiques ont permis d’établir que l’écart type des montants de ventes d’un produit par magasin d’une chaîne de distribution est σ = 200 $. Supposons que la population des montants des ventes par magasin soit distribuée normalement,
a) Quelle est la taille minimale de l’échantillon nécessaire pour estimer les ventes par magasin à 100 $ près avec un niveau de confiance de 0.95?
Soit X = montant des ventes d’un magasin
X ∼ N(μ, 200^2 )
E = 100 1 – α = 0.95 donc α = 0.05 et ainsi zα/2 = z0.025 = 1.
15 , 36 100
1 , 96 200 2
2 (^2) =
=^ ×
E
Z n
α^ σ
La taille minimale de l’échantillon est donc 16.
b) Un magasin de ce secteur de l’économie s’est procuré un lot de 10 000 composantes électroniques dans une vente de surplus d’inventaire organisée par un concurrent. Dans un échantillon de 50 pièces, il en découvre 5 qui sont à rejeter. Estimer à l’aide d’un intervalle de confiance à 95 %, la proportion des composantes de ce lot qui sont à rejeter.
On cherche un intervalle de confiance à 95% pour la vraie valeur de la proportion de composantes défectueuses (que l’on note p ).
0 , 1 50
ˆ 5 p = =
n = 50 1 – α = 0.95 donc α = 0.05 et ainsi zα/2 = z0.025 = 1.
( ) 50
0 , 1 0 , 9 0 , 1 1 , 96
ˆ 1 ˆ ˆ 2
× = ± − ± n
p p p Z α = 0.1 ± 0.
= [ 0.0168, 0.1832 ]
Question 5
a) La direction de l’université Laval sait que 80 % des étudiantes occupent des emplois à temps partiel durant l’année académique. Quelle est la probabilité que, dans un échantillon aléatoire de 100 étudiantes de Laval, au moins 75 % d’entre elles détiennent un emploi à temps partiel?
a : 0.806 b : 0.894 c : 0.932 d : 0.954 e : 0.
p = 0. n = 100
ᡨ̅ ~ N(p, ぃ (⡩⡹ぃ) ぁ ) ᡨ̅ ~ N(0.8, ⡨.⡶ (⡩⡹⡨.⡶) ⡩⡨⡨ ) ᡨ̅ ~ N(0.8, 0.0016) P(ᡨ̅ > 0.75) = P( ぃ̅⡹⡨.⡶ √⡨.⡨⡨⡩⡴^
⡨.⡵⡳⡹⡨.⡶ √⡨.⡨⡨⡩⡴^
) = P(Z > -1.25) = P(Z < 1.25) = 0.
b) Si σ = 5 $ et si l’échantillon est le même qu’en a), avec quel niveau de confiance peut-on affirmer que la vraie moyenne μ est dans l’intervalle (38.57 $, 42.33$)?
I. de C. =
n
x Z
σ α 2
± donc
2
± Z α = (38.57 , 42.33)
On nous indique que l’IC pour μ est (38.57 , 42.33) ce qui correspond à 40.45 ± 1.88.
Il faut donc que :
zα/2 * 5 / (^) √25 = 1. zα/2 = 1.
Selon la table de la loi N(0,1), la probabilité d’obtenir une valeur plus petite que 1.88 est de 0.9699, soit environ 97%. On en déduit que la probabilité d’obtenir une valeur plus grande que 1.88 est de 3%. Ainsi, α/2 = 0.03 (puisque zα/2 correspond au point tel qu’on retrouve une probabilité de α/2 d’être à sa droite). Cela signifie que α = 0.06 et donc que 1 – α = 0.94.
Le niveau de confiance de l’intervalle est de 94%.
Question 7
Pour toutes les parties de ce problème, encerclez votre réponse.
a) Un service de santé publique doit vérifier, dans une ville donnée, la proportion d’enfants immunisés contre la polio; proportion que l’on croit être d’environ 90 %. On désire que l’estimation de cette proportion soit à au plus 0.05 de la vraie proportion, avec une probabilité de 0.98. Parmi les nombres suivants, quel est celui qui correspond à la plus petite taille d’échantillon requise?
a : 196 b : 286 c : 353 d : 418 e : 534
p = 0. E = 0. 1 – α = 0.98 donc α = 0.02, α/2 = 0.01, zα/2 = z0.01 = 2.
n = zα/2^2 * p * (1-p) / E^2 = 2.33^2 * 0.9 * (1-0.9) / 0.05^2 = 195.
Il faut donc prendre une taille d’échantillon supérieure ou égale à 196.
b) À partir d’un échantillon aléatoire de 10 observations sur une population normale N(μ, σ^2 = 40), l’intervalle de confiance au niveau (1- α) % pour la moyenne μ de la population est donné par (2.05, 12.25). Trouvez la valeur de 1-α. a : 0.60 b : 0.75 c : 0.80 d : 0.95 e : 0.
n = 10 σ^2 = 40 I.C. pour μ est (2.05, 12.25) n < 30 et σ^2 est connue donc l’I.C. pour μ est : ᡶ̅ ± √ぁ^ zα/ Marge d’erreur = Moitié de la largeur de l’intervalle = ⡩⡰.⡰⡳⡹⡰.⡨⡳⡰ = (^) √ぁ zα/
5.1 = √⡲⡨ √⡩⡨ zα/ zα/2 = 2.
La probabilité à droite du point 2.55 dans la densité de la loi N(0,1) est 0.0054 (c’est-à-dire que P(Z > 2.55) = 0.0054) donc : む ⡰ = 0.0054 donc^ α^ = 0.0108, ce qui implique que^ le niveau de confiance, 1 –^ α , est égal à
0..
c) Un échantillon aléatoire de taille n est prélevé d’une population normale de moyenne μ inconnue et de variance σ^2 = 25. On veut construire un intervalle de confiance au niveau de 95 % pour μ. Quelle est la taille minimale de l’échantillon pour lequel la largeur de l’intervalle ne dépasse pas 5?
a : 16 b : 25 c : 34 d : 42 e : 85
σ^2 = 25 1 – α = 0.95 (donc zα/2 = 1.96)
La largeur de l’intervalle ne doit pas dépasser 5. Or, la marge d’erreur est la moitié de la largeur de l’intervalle, donc E = marge d’erreur maximale = 2.5.
n = (zα/2 * σ / E)^2 = (1.96 * √25 / 2.5)^2 = 15.
Il faut donc prendre une taille d’échantillon supérieure ou égale à 16.
Question 8
On veut effectuer un sondage auprès des membres d’une association professionnelle qui comprend 1200 membres pour obtenir une estimation de leur revenu annuel moyen. Un sondage similaire effectué il y a deux ans a permis d’établir que l’écart type des revenus annuels perçus par l’ensemble des membres est de 1 050 $. Déterminer la taille d’échantillon requise pour un niveau de confiance de 95 % et pour que la marge d’erreur n’excède pas 125 $.
a) Donnez une estimation ponctuelle du nombre moyen d’œufs qu’une poule de cette ferme pond en un mois?
L'estimation ponctuelle est donnée par x = 21.9 œufs/mois.
b) Présentez une estimation par intervalle de confiance à 98 % du nombre moyen d’œufs qu’une poule de cette ferme pond en un mois.
n < 30 et σ^2 est inconnue donc l’I.C. pour μ est :
ᡶ̅ ± う √ぁ^ tα/2 (n-1)
1 – α = 0.98 donc α = 0.02 et ainsi t α/2 (n-1) = t 0.01 (19) = 2.
ᡶ̅ ± う √ぁ tα/2 (n-1)^ = 21.9 ±^
⡰.⡩ √⡰⡨ * 2. = 21.9 ± 1. = [ 20.71 , 23.09 ]
c) Serait-il raisonnable de conclure que les poules de cette ferme pondent, en moyenne, 22 œufs par mois? Qu’elles pondent, en moyenne, 24 œufs par mois?
Il ne serait pas raisonnable de conclure que les poules pondent 24 œufs par mois puisque 24 ne se situe pas dans l’intervalle de confiance. Toutefois, 22 œufs se situent dans l’intervalle de confiance. Il serait donc raisonnable de conclure que les poules pondent 22 œufs par mois.
Question 11
Supposez que le bureau du premier ministre veuille estimer la proportion de la population qui appuie la politique actuelle sur le contrôle des armes à feu. Une analyse préliminaire, effectuée par les conseillers du premier ministre, indique que cette proportion serait d’environ 0.6. Le premier ministre exige que la marge d’erreur de l’estimation ne dépasse pas 0.04. Supposons que le niveau de confiance est fixé à 95 %.
a) Quelle taille l’échantillon minimale devrait-on prendre?
1 – α = 0.95 (donc zα/2 = 1.96) E = 0. p = 0.
n = zα/2^2 * p * (1-p) / E^2 = 1.96^2 * 0.6 * (1 – 0.6) / (0.04)^2 = 576. . Donc, la taille de l’échantillon devrait être de 577 ou plus.
b) Quelle taille l’échantillon minimale devrait-on utiliser si aucune information n’était disponible sur la valeur de la proportion?
Dans ce cas, on prend p = 0.
n = zα/2^2 * p * (1-p) / E^2 = 1.96^2 * 0.5 * (1 – 0.5) / (0.04)^2 = 600.
Donc, la taille de l’échantillon devrait être d’au moins 601 personnes lorsqu'aucune information n'est disponible sur la valeur de la proportion.
Question 12
Un manufacturier désire accroître la productivité au sein de son entreprise. Il a donc fait améliorer les conditions de travail des employés en rénovant et en instaurant des mesures incitatives. Dans le cadre d’une étude sur l’efficacité de ces mesures, et à l’aide d’un échantillon aléatoire de 6 employés, on a relevé le nombre d'unités produites par chacun de ces employés une journée choisie au hasard avant l'introduction des changements, et une journée choisie au hasard après l'introduction des changements. On a obtenu les résultats suivants :
Employé 1 2 3 4 5 6 Avant 75 61 62 68 58 70 Après 82 70 74 80 65 80
Sur la base de ces résultats, et en supposant que la production avant et après les changements suit une distribution normale, estimez par intervalle de confiance au niveau 95 % :
a) la production moyenne quotidienne d'un employé avant les changements ;
n = 6 n < 30 et σ^2 est inconnue donc l’I.C. pour μ est :
ᡶ̅ ± う √ぁ tα/2 (n-1) où :
- ᡶ̅ = (75 + 61 + 62 + 68 + 58 + 70) / 6 = 65.
- Σ xi^2 = 75^2 + 61^2 + 62^2 + 68^2 + 58^2 + 70^2 = 26 078
- s^2 = [Σ xi^2 – n ᡶ̅^2 ] / ( n – 1) = [ 26 078 – 6 (65.666667)^2 ] / (6 – 1) = 41.
- s = (^) √41.066667 = 6.
- 1 – α = 0.95 donc α = 0.05 et ainsi t α/2 (n-1) = t 0.025 (5) = 2.
- Donner une estimation ponctuelle de la moyenne μ de la v.a. X.
L’estimateur ponctuel de la moyenne d’une population, μ, est simplement la moyenne de l’échantillon, ᡶ̅.
Nous avons des données groupées, donc on doit utiliser la formule suivante :
ᡶ̅ = [ Σ fi Mi ] / [ Σ fi ] où Mi représente le centre de la classe i. On trouve que M 1 = 2.5, M 2 = 7.5, M 3 = 12.5, M 4 = 17.5, M 5 = 22.5 et M 6 = 27.5.
ᡶ̅ = [ (5 * 2.5) + (15 * 7.5) + (25 * 12.5) + (30 * 17.5) + (20 * 22.5) + (5 * 27.5) ] / [ 5 + 15 + 25 + 30 + 20 + 5 ] = 15.
2. Donner une estimation ponctuelle de l’écart type σ de la v.a. X.
L’estimateur ponctuel de l’écart type d’une population, σ, est simplement l’écart type de l’échantillon, s. Nous avons des données groupées, donc on doit utiliser la formule suivante :
s^2 = [ Σ fi Mi^2 – n ᡶ̅^2 ] / [ n – 1 ]
où Σ fi Mi^2 = (5 * 2.5^2 ) + (15 * 7.5^2 ) + (25 * 12.5^2 ) + (30 * 17.5^2 ) + (20 * 22.5) + (
s^2 = [27 875 – 100 (15.5)^2 ] / [100 – 1 ] = 38.
s = (^) √38.8888889 = 6.
- Construire un intervalle de confiance au niveau 90% pour la taille moyenne μ
de ces polices.
n ≥ 30 et σ^2 est inconnue donc l’I.C. pour μ est :
ᡶ̅ ± う √ぁ z α/
1 – α = 0.90 donc α = 0.10 et ainsi z α/2 = z 0.05 = 1.
ᡶ̅ ± う √ぁ^ z α/2 = 15.5 ± ⡴.⡰⡱⡴⡩ √⡩⡨⡨^
= [ 14.474 , 16.526 ] milliers de dollars = [ 14 474$ , 16 526$ ]
Question 14
Un petit commerce de fabrication et de livraison de pizzas à domicile désire faire une étude sur le temps moyen qui s’écoule entre le moment où la commande est passée par téléphone et le moment où le client reçoit sa pizza. Une observation rapide faite sur 25 commandes fait ressortir un temps moyen de 27 minutes avec un écart type de 1 minute. On suppose que les temps de fabrication livraison se distribuent normalement.
Donner un intervalle de confiance de ce temps moyen, au niveau de confiance de 98 %.
n < 30 et σ^2 est inconnue donc l’I.C. pour μ est :
ᡶ̅ ± う √ぁ^ tα/2 (n-1)
1 – α = 0.98 donc α = 0.02 et ainsi t α/2 (n-1) = t 0.01 (24) = 2.
ᡶ̅ ± う √ぁ tα/2 (n-1)^ = 27 ±^
⡩ √⡰⡳ * 2. = 27 ± 0. = [ 26.5016 , 27.4984 ]
Question 15
Dans un échantillon aléatoire de 50 titres obligataires industriels, on a obtenu un taux de rendement moyen de 10.1 % le mois dernier, avec un écart type de 0.12 %. Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la moyenne réelle des taux de rendement réalisés sur l’ensemble des obligations industrielles pour le mois dernier.
n ≥ 30 et σ^2 est inconnue donc l’I.C. pour μ est : ᡶ̅ ± う √ぁ^ z α/
1 – α = 0.95 donc α = 0.05 et ainsi z α/2 = z 0.025 = 1.
ᡶ̅ ± う √ぁ^ z α/2 = 10.1 ± ⡨.⡩⡰ √⡳⡨^
= [ 10.067 , 10.133 ]
