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Polynomial Exercises and
Solutions
Polynômes
Exercice 1 ***I
Soit n ≥ 2. On a: $a_n = \prod_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2i(e^{ik\pi/n} - e^{-ik\pi/n})} = \frac{1}{(2i)^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1} e^{ik\pi/n} \prod_{k=1} ^{n-1} (1 - e^{-2ik\pi/n}) = i^{n-1}$
$b_n = \frac{1}{2^n} e^{-ina} e^{-i(n+1)\pi/2} (1 - e^{2ina+n\pi}) = \frac{1}{2^{n-1}} \cos(na + (n+1)\pi/2)$
Soit n un entier naturel non nul. On a:
$c_n = \frac{1}{i^n} \prod_{k=1}^n \frac{1}{i\frac{e^{2i(a+k\pi/ n)} - 1}{e^{2i(a+k\pi/n)} + 1}} = \frac{1}{i^n} \prod_{k=1}^n \frac{e^{2i(a+k\pi/n)} - 1}{e^{2i(a+k\pi/n)} + 1}$ Si n est pair, $c_n = (-1)^{n/2}$ Si n est impair, $c_n = (-1)^{(n-1)/2} \tan((2p+1)a)$
Exercice 2 ***
Soit $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ et $Q = 1 + 2X + \dots + nX^{n-1}$. On a:
- $Q(\omega_k) = \frac{n\omega_k^{n+1} - (n+1)\omega_k^n + 1} {(\omega_k - 1)^2}$ - $\prod_{k=0}^{n-1} Q(\omega_k) = \frac{n^n(n+1)}{2\prod_{k=1}^{n-1}(\omega_k - 1)} = \frac{(-1)^{n-1} n^{n-1}(n+1)}{2}$
Exercice 3 ***
Soit $x_k = \cot^2(\pi/2n + k\pi/n)$. On a: - Si n est pair, $\sum_{k=0} ^{n-1} x_k = n(n-1)$ - Si n est impair, $\sum_{k=0}^{n-1} x_k = n(n-1)$
Exercice 4 ****I
Soit $p$ un entier naturel et $a$ un réel. On a: $\sum_{k=1}^p \cot^2(k\pi/(2p+1)) = \frac{p(2p-1)}{3}$
$\sum_{k=1}^p \frac{1}{\sin^2(k\pi/(2p+1))} = \frac{2p(p+1)}{3}$
La suite $(u_n) {n\in\mathbb{N}^*}$ définie par $u_n = \sum {k=1}^n \frac{1}{k^2}$ est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers $\frac{\pi^2}{6}$.
Pour tout $x \in ]0, \pi/2[$, on a $\cot x < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}$.
On en déduit que $\frac{\pi^2p(2p-1)}{3(2p+1)^2} < u_p < \frac{2\pi^2p(p+1)}{3(2p+1)^2}$, et donc $\lim_{p\to\infty} u_p = \frac{\pi^2}{6}$.
Exercice 5 ***
Le PGCD de $X^6 - 7X^4 + 8X^3 - 7X + 7$ et $3X^5 - 7X^3 + 3X^2 - 7$ est $X^3 + 1$.
Exercice 6 **T
Le polynôme $(X+1)^n - X^n - 1$ est divisible par $X^2 + X + 1$ si et seulement si $n$ est un multiple de 3.
Exercice 7 ***
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels tel que $\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \geq 0$. Alors il existe deux polynômes $R$ et $S$ à coefficients réels tels que $P = R^2 + S^2$.
Exercice 8 **
Soit $P$ un polynôme différent de $X$. Alors $P(X) - X$ divise $P(P(X)) - X$.
Exercice 9 ***
Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à 1. Soit $n$ un entier relatif et $m = P(n)$. Alors: 1. $\frac{P(n+1) - P(n)}{m}$ est un entier. 2. Il n'existe pas de polynômes non constants à coefficients entiers tels que $P(n)$ soit premier pour tout entier $n$.
Exercice 10 ***
Soit $E$ l'ensemble des polynômes $P$ à coefficients complexes tels que $ \forall a \in \mathbb{Z}, P(a) \in \mathbb{Z}$. Alors: 1. $P_n = \frac{1}{n!} \prod_{k=1}^n (X + k) \in E$ pour tout entier naturel $n$. 2. Toute combinaison linéaire à coefficients entiers relatifs des $P_n$ est encore un élément de $E$. 3. $E$ est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers relatifs des $P_n$.
Exercice 11 ***
Soit $a$ un réel donné. La division euclidienne de $P = \sin(a)X^n - \sin(na)X + \sin((n-1)a)$ par $Q = X^2 - 2X\cos(a) + 1$ donne un quotient et un reste.
Si n ∈ 5+6Z, (-j^2)^n - j^n - 1 = -j - j^2 - 1 = 0
Conclusion
(X+1)^n - X^n - 1 est divisible par X^2 + X + 1 si et seulement si n est dans (1+6Z) ∪ (5+6Z).
Décomposition d'un polynôme réel
Soit P un polynôme non nul à coefficients réels. Pour tout réel x, on peut écrire :
P(x) = λ ∏_i=1^k (x-a_i)^α_i ∏_j=1^l ((x-z_j)(x-z_j))^β_j
où : - λ est un réel non nul - k et l sont des entiers naturels - les a_i sont des réels deux à deux distincts - les α_i et les β_j sont des entiers naturels - les (x-z_j)(x-z_j) sont des polynômes deux à deux premiers entre eux à racines non réelles
Propriétés
∏_j=1^l ((x-z_j)(x-z_j))^β_j > 0 pour tout réel x (les trinômes du second degré considérés étant unitaires sans racines réelles). ∀x ∈ R, P(x) ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ R, λ ∏_i=1^k (x-a_i)^α_i ≥ 0. Si ∀x ∈ R, P(x) ≥ 0, alors lim_x→+∞ P(x) ≥ 0, ce qui impose λ > 0. Si un exposant α_i est impair, P change de signe en a_i, ce qui contredit l'hypothèse faite sur P. Donc, tous les α_i sont pairs. Réciproquement, si λ > 0 et si tous les α_i sont pairs, alors ∀x ∈ R, P(x) ≥ 0.
Écriture alternative
Posons A = √λ ∏_i=1^k (x-a_i)^(α_i/2). A est un élément de R[X] car λ > 0 et les α_i sont des entiers pairs.
Posons ensuite Q_1 = ∏_j=1^l (x-z_j)^β_j et Q_2 = ∏_j=1^l (x-z_j)^βj. Q admet après développement une écriture de la forme Q_1 = B + i C où B et C sont des polynômes à coefficients réels. Mais alors, Q_2 = B - i C = (AB)^
- (AC)^2 = R^2 + S^2, où R et S sont des polynômes à coefficients réels.
Propriétés des polynômes
Exercice 7
(X+1)^n - X^n - 1 est divisible par X^2 + X + 1 si et seulement si n est dans (1+6Z) ∪ (5+6Z).
Exercice 8
Soit P un polynôme non nul à coefficients réels. Pour tout réel x, on peut écrire :
P(x) = λ ∏_i=1^k (x-a_i)^α_i ∏_j=1^l ((x-z_j)(x-z_j))^β_j
où λ est un réel non nul, k et l sont des entiers naturels, les a_i sont des réels deux à deux distincts, les α_i et les β_j sont des entiers naturels et les (x-z_j)(x-z_j) sont des polynômes deux à deux premiers entre eux à racines non réelles.
Exercice 9
Soit P = ∑_k=0^n a_k X^k un polynôme de degré n ≥ 1. Alors, P(P(X)) - X est divisible par P(X) - X.
Exercice 10
Pour tout n ∈ N, P^n(n+km) est un entier relatif multiple de m = P(n). Si P ∈ Z[X] et ∀n ∈ N, P(n) est premier, alors P est constant.
Exercice 11
L'ensemble E des polynômes P ∈ C[X] tels que ∀k ∈ Z, P(k) ∈ Z est constitué des combinaisons linéaires à coefficients entiers relatifs des P^k. Tout polynôme P ∈ C[X] \ {0} tel que ∀k ∈ Z, P(k) ∈ Z s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire à coefficients entiers relatifs des P^k.
Exercice 12
Les polynômes divisibles par leur dérivée sont les polynômes de la forme λ(X-a)^n, λ ∈ C \ {0}, n ∈ N^*, a ∈ C.
Exercice 14
Le polynôme solution unique est P = 15/128 X^5 - 25/16 X^3 + 75/8 X.
Exercice 15
Les polynômes solutions sont 0, 1 et les (X^2 - X)^α où α est un entier naturel quelconque.
Exercice 16
Les solutions du problème sont a ∈ {56, -56, 15i√13, -15i√13}.
