Download Electomagnetics Fieds and more Study Guides, Projects, Research Electromagnetism and Electromagnetic Fields Theory in PDF only on Docsity!

s

e m

ELEKTROMANYETİK ALAN TEORİSİ

Prof. Dr. Osman Gürdal

BURSA ORHANGAZİ ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI– BURSA 2017

524 ÇÖZÜMLÜ ALIŞTIRMA VE PROBLEM İLE 4.BASKI

εLεKTRσμANYεTİK

ALAN TεσRİSİ

BURSA ORHANGAZİ ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI– BURSA 2017

V

ÖNSÖZ

Elektromanyetik alan teorisi kavramından önce alan teorisi kavramının öncelikle vurgulanması gerekir. Alan uzay ve zamanda gözlenebilir bir niceliğin veya büyüklüğün süreklilik gösteren dağılımı olarak tanımlanabilir. Ölçülebilir olması gereken bu gözlenebilir nicelik bir sıvının rengi, atmosferdeki toz yoğunluğu, sıcaklık dağılımı, güneşin ışık ve sıcaklık dağılımı, atmosfer basıncı, rüzgar dağılımı, yerçekimi, akarsudaki akış örüntüsü, dünyayı çevreleyen manyetik alan , derideki kıl yoğunluğu, ormandaki ağaç dağılımı, nüfus dağılımı, telefon baz istasyonu ve elektrik iletim hatları etrafındaki elektriksel ve manyetik alan örüntüleri gibi olaylar çeşitlemesinden herhangi biri olabilir. Gözlenen nicelik, uzayda değişim gösterip zamanla değişmiyorsa statik alan dan, tersi durumda ise zamanla değişken alan dan söz edilir. Bir alan ın matematiksel tanımında alan ın uzayın bir fonksiyonu olduğu kabul edilir. Alan daki herhangi bir nokta, uzayda öbür noktalara göre konumu cinsinden belirlenir. Ölçülen özellik, doğrultudan bağımsızsa skaler, doğrultuya bağlıysa vektördür.

Alan ları sınıflandırmanın çeşitli yolları vardır; başlangıçta bunlar maddi ve maddi olmayan alan lar olarak ikiye ayrılabilir. Maddi alan larda gözlenebilir nicelik bir gazın sıcaklığı, bir sıvının hızı ya da yoğunluğu gibi maddenin bir özelliğini gösterir. Elektrik alan ı ve manyetik alan gibi maddi olmayan alan ise herhangi bir maddi özelliği sergilemeyip belli koşullar altında uzayın bir noktasında ortaya çıkacak bazı gizli etkileri sergiler. Gözlenebilir alan , alan fonksiyonuyla verilen ve uzayın x , y , z koordinatlarıyla tanımlanan bir noktasındaki değeri bulunabilen elektrostatik veya manyetostatik alan dır. O noktada gerçekte var olan herhangi bir şey yoktur. Eğer bir elektrik yükü x , y , z koordinatlarıyla tanımlanan noktaya yerleştirilirse, elektrik yükü alan fonksiyonuyla orantılı bir kuvvetin etkisinde kalacaktır. Manyetik alan , elektrik alan ı, kütleçekimi alan ı ve olasılık alan ları bu türden alan lara örnektir.

Alan lar gözlenebilir fonksiyonlarının skaler, vektör ya da tensör oluşlarına göre de sınıflandırılabilir. Bir skaler büyüklüğü olan ancak yönü olmayan niceliktir. Kütle, yoğunluk, sıcaklık, akım, gerilim skaler alanlardır. Vektör, uzayda yönlenmiş niceliktir. Kuvvet, elektrik ve manyetik alan şiddetleri ve akı yoğunlukları vektörel niceliklere örnek verilebilir. Alan ın ölçülebilir niceliği yalnızca skaler ya da vektörel niceliklerle ifade edilemiyorsa ve böylesi birçok niceliğin bir arada ele alınması gerekiyorsa bir tensör kurulması gerekir.

Atmosferde herhangi bir noktadaki basınç gaz molekülleri ile yer arasındaki kütleçekimi etkisinden kaynaklanır. Bir yandan yeryüzüne doğru gaz moleküllerinin hızlanmasına yol açan bu çekim etkisinden, öbür yandan yüklendikleri ısıl enerji yüzünden birbirleriyle çarpışan moleküllerin atmosferin genişlemesini sağlayan etkisinden kaynaklanan iki karşıt eğilim arasında bir kararlı durum oluşur. Böylece atmosfer basıncı, irtifa’nın yani yeryüzünden yüksekliğin azalan bir fonksiyonu olur. Bu durum skaler alanlar için en basit örneklerdendir. Sıcaklık alan ı, kütleçekimi alan ı, hareketli akışkanların yoğunlukları gibi alan lar da benzer skaler alan lardır.

Uzayda fiziksel bir miktar bir veya daha fazla sayılar ile temsil edildiğinde bu sayılar sıcaklık, basınç, yoğunluk, elektrik alan şiddeti, manyetik akı yoğunluğu, vb. belirtebilir. Bu değerlerin tamamı, bir çeşit fiziksel miktar için fiziksel bir alan veya üç boyutlu uzayı oluşturur. Böylece ısıl alan , yerçekimi alan ı, elektrik alan ı ve manyetik alan hakkında konuşuluyor olabilir. Anılan alanların matematiksel teorisi alan teorisi olarak adlandırılır.

Alan teorisi Gauss, Laplace, Poisson, Coulomb ve Ampère tarafından 19. yüzyılda geliştirilmiştir. Bir yüzyıl boyunca alan teorisi matematiksel fiziğin önemli bir branşını oluşturmuş fakat matematikçiler ve fizikçiler genelde mühendislik problemleri üzerinde yeterli işbirliği içinde

VI

olmadıklarından ve mühendislerin çoğu alan teorisi için gereken matematik temeline sahip olmadıklarından sadece yakın zamanlarda mühendislik uygulamaları yapılmıştır. Matematikçilerin ve fizikçilerin mühendislik problemlerindeki yetersiz işbirliği muhtemelen ana neden olarak yeni öğretme teknikleri geliştirmede çaresiz kalan insanoğluna büyük bir yanılgıyla “ İnsan beyni fizik çalışmak için tasarlanmamıştır. ” sözünü söyletecek kadar etkili olmuştur.

THE NATURE OF THE HUMAN MIND “Opinions about the human mind are as numerous as the multitude of anthropologists, biologists, psychologists, and philosophers who have written about it. It’s rare, however, for a physicist to venture into such a discussion. We don’t dig for ancient bones or study the ways of bees and geese; our research deals with the inanimate world of electrons and protons, far removed from questions of human behavior. Yet as teachers we confront, on a day-to-day basis, some deep issues concerning the nature of the human mind. With each new freshman class, I again must face the fact that the human mind wasn’t designed to study physics .” Alan Cromer, Uncommon Sense (Oxford University Press, New York, 1993), p. 23.

Elektromanyetik alan fizikteki en önemli vektör alan ı sayılabilir. Her ikisi de vektör alan ı olan elektriksel ve manyetik alan lar hareketli olduklarında karakteristik bir biçimde etkileşir. Bir hidrodinamik sistemdeki basınç alan ı tensör alan larına örnek verilebilir. Bu durum, akışkan içindeki farklı noktaların farklı sıcaklıklarda olduğu karmaşık hareketler sistemine karşılık gelir.

Elektromanyetik alan teorisi dersi elektrik mühendisliği müfredatının en önemli temel derslerinden biri olmuş ve bunu sürdürme eğiliminde gözükmektedir. Diğer teorilerin aksine, karmaşık elektrik mühendisliği problemlerinin açıklaması ve çözümünü veren en iyi tesis edilmiş genel teorilerden biridir. Bu kitap elektromanyetik alanları temel olarak kavramak isteyen lisans öğrencileri için iki sömestirlik dersin temel ders kitabı olarak hazırlanmaya çalışılmış ve aynı zamanda ileri elektromanyetik alanlara hazırlanan öğrenciler için de bir kaynak olabilir.

Kitap içeriği elektromanyetik alan teorisinin öğrenilmesi seyahatinde bir kılavuz olarak görülebilir. Akla iki soru gelebilir: Elektromanyetik nedir ve niçin önemlidir? İlk soruya elektromanyetik durgun veya hareketli elektrik yüklerinin etkisi çalışmasıdır şeklinde kısa bir cevap verilebilir. Elektromanyetik teori, elektromanyetik olgusunun açıklanmasında ve elektrik, manyetik ve elektromanyetik aygıtların karakteristikleri ve çalışma prensiplerinin anlaşılmasında temel olduğundan önemlidir. Modern topluluklar yoğun bir biçimde elektromanyetik aygıtlar ve sistemlere dayanır. Burada örnek olarak, mikrodalga fırını, katot ışınlı osiloskop, radyo, televizyon, radar, uydu iletişimi, hava taşıtlarının otomatik iniş-kalkış sistemleri ve elektromanyetik enerji dönüşümü (motor ve generatörler) düşünülebilir.

Elektromanyetizmanın temel prensipleri 150 yıl kadar önceden biliniyordu. Organize ve mantıklı bir yolda olgunlaşmış bir bilimsel konuya çalışmak için çoğunlukla birkaç temel miktardan ve bazı varsayımlardan (hipotez veya aksiyom) oluşan geçerli bir teorik modelin oluşturulması gereklidir. Diğer ilişkiler ve sonuçlar daha sonra bu varsayımlardan geliştirilir. Örneğin klasik mekanik çalışması kütle, hız, ivme, kuvvet, moment ve enerji’yi tanımlayan teorik bir modele dayanır. Modelin temel varsayımları Newton hareket kanunu, momentin korunumu ve enerjinin korunumu’dur. Bu varsayımlar diğer teoremlerden çıkartılamaz fakat hareket hızının ışık hızına göre ihmal edilebildiği göreceli (mekanik olmayan) diğer bütün ilişkiler ve formüller bu varsayımlardan geliştirilebilir. Benzer şekilde giriş bölümünde bahsedildiği gibi elektromanyetik çalışmasında da bir elektromanyetik modelin oluşturulmasına ihtiyaç duyulur.

Vektör analizi, elektromanyetik alan teorisinin matematiksel formülasyonunda omurga rolünde olduğundan, çok iyi anlaşılması elektromanyetik teorinin mantıksal kavranılmasında önemlidir. Bu kitap temel prensiplerden geliştirilmiş ve bir öğreticinin minimum yardımı ile vektör analizi hakkında yeterli bilgi verilmeye çalışılmış ve aynı zamanda uygun konunun akabinde çok sayıda çözümlü problemleri de barındırmaktadır. Bu örnekler sadece kavram veya fiziksel kanunu geliştirmeyip aynı zamanda formal teorik gelişim ve uygulaması arasında bir köprü kurmaktadır. Bu örnekler takviyenin zamanında yapılması ve konunun daha ileri anlaşılması amacıyla makul

VIII

IX

5.11.1 B

5.11.2 H

XIV

7.15 ELEKTROMANYETİK ALAN UYGULAMALARI

2.1 GİRİŞ

Tarihsel olarak, bakalit çubuklar ve kedi postlarıyla ilgilenen elektrik ve mıknatıslar, demir tozları ve pusula iğneleriyle ilgilenen manyetizma fiziğin iki ayrı dalı olarak dikkate alınmaktaydı. 1820’de Oersted elektrik akımının mıknatıslı pusula iğnesini saptırabildiğini gözledikten kısa bir süre sonra Ampére tüm manyetik olayların hareketli yüklerden kaynaklandığını öne sürmüş ve Faraday’ın hareketli mıknatısın elektrik akımı üretmesini keşfinden sonra Maxwell ve Lorentz elektromanyetik teoriyi tamamladığında elektrik ve manyetizma artık fiziğin iki ayrı dalı değil, bir bütün olarak, elektromanyetizma olarak bilinmeye başlanmıştır.

Bir yerde bulunan elektrik yükü veya yüklerinin diğer yük veya yükler üzerindeki etkisinin araştırılması yani çözümü elektromanyetik alan teorisiyle yapılır. Elektrik yükü veya yükleri uzayın tamamında elektrik ve manyetik alanlar oluşturur ve bu alan içindeki diğer yük veya yükler bir kuvvetin etkisi altında kalırlar. Yükler arasındaki etkileşim alan tarafından iletilmiş olur.

Bir yük hızlandığında, elektromanyetik ışınım yoluyla, alanının bir kısmı yükten koparak ışık hızıyla enerji ve moment götürür. Elektromanyetik ışınımın varlığı elektromanyetik alanın kendi başına bir dinamik varlık olduğunu gösterir.

Kısaca, elektrik şiddetli çarpma ve manyetik ise çekme olarak bilinirken bu iki terimin birleşmesinden oluşan elektromanyetizmanın tarihsel gelişiminden kaynaklanan bazı soruların cevabı doğal olarak merak konusudur. Alan nedir? Bu alan skaler alan veya vektör alanı mıdır? Alanın doğası (türü) nedir? Sürekli alan veya rotasyonel alan mıdır? Akım taşıyan sargının ürettiği manyetik alan nasıldır? Kapasitör enerjiyi nasıl depolar? Bir iletken tel parçası veya anten sinyalleri nasıl yayar veya alır. Boşlukta veya uzayda elektromanyetik alanlar nasıl yayılır? Boş bir borunun veya dalga kılavuzunun bir ucundan diğer ucuna elektromanyetik enerji hareket ettiğinde gerçekten ne olur? Bu ders kitabının öncelikli amacı elektromanyetik alanlar ile ilgili bu soruların bir kısmını cevaplamaktır.

Bu bölümde, elektromanyetik alan teorisi üzerinde çalışmanın elektrik-elektronik mühendisliğinde yer alan çoğu olguların anlaşılmasında hayati önem taşıdığını göstermek amacı taşınmaktadır. Bunun için elektrik-elektronik mühendisliğinin diğer alanlarındaki kavramlarından ve bazı

Elektromanyetik Alan Teorisi 3

Tablo 1.2 Birim dönüşüm faktörleri

Gilbert × 0,79577 = Amper-sarım (At) Amper-sarım/cm × 2,54 = Amper- sarım /inç Amper-sarım/inç × 39,37 = Amper- sarım/m Oersted × 79,577 = Amper-sarım/metre Akı × 1×10-8^ = Weber (Wb) Gauss (akı/cm^2 ) (^) × 6,4516 = Akı/inç^2 Akı/inç^2 × 0,155 × 10-4^ = Wb/m^2 (Tesla) Gauss (^) × 10 -4^ = Wb/m^2 İnç (^) × 2,54 = santimetre (cm) Feet (ayak) (^) × 30,48 = santimetre Metre (^) × 100 = santimetre İnç^2 × 6,4516 = cm^2 Ons (^) × 28,35 = gram Pound (^) × 0,4536 = kilogram Pound-kuvvet (^) × 4,4482 = newton Ons-kuvvet (^) × 0,27801 = newton Newton-metre (^) × 141,62 = ons-inç Newton-metre (^) × 0,73757 = pound-feet Devir/dakika (^) × 2 π/60 = radyan/saniye

1.2 ALAN KAVRAMI

Elektromanyetik alan çalışmasına girmeden önce alan kavramının tanımlanması gereklidir. Alan uzay ve zamanda gözlenebilir bir niceliğin veya büyüklüğün süreklilik gösteren dağılımı olarak tanımlanabilir. Bölgedeki her noktada bu nicelik veya büyüklük bir değerler grubu ile tanımlanır. Bir alanın her noktasındaki değer deneysel olarak ölçülebilir veya diğer bazı miktarlar cinsinden bazı matematiksel işlemler yapılarak tahmin edilebilir.

Bilimin diğer alanlarındaki çalışmalardan hem skaler ve hem de vektörel alanların var olduğu bilinmektedir. Bu kitapta kullanılan alan değişkenlerinden bazıları tablo 1.3’de verilmiştir. Bu alan miktarları arasında belirli ilişkiler olup bunlardan bazıları tablo 1.4’de verilmiştir.

Tablo 1.3 Bazı alan değişkenleri

Değişken Tanım Tip Birimler A

 Manyetik vektör potansiyeli vektör Wb/m B

 Manyetik akı yoğunluğu vektör Wb/m^2 (T) D

 Elektrik akı yoğunluğu vektör C/m^2 E

 Elektrik alan şiddeti vektör V/m F

 Lorentz kuvveti vektör N I Elektrik akımı skaler A J

 Hacim akım yoğunluğu vektör A/m^2 q Serbest yük skaler C S

 Poynting vektörü vektör W/m^2 u

 Serbest yük hızı vektör m/s V Elektrik potansiyeli skaler V

4 Elektromanyetik Alan Teorisi

Tablo 1.4 Değişik alan değişkenleri arasındaki ilişkiler

D E

 

= ε permitivite (^ ε)

B H

 

= μ permeabilite ( μ)

J E

 

= σ öziletkenlik (σ), Ohm kanunu

F ( E u B )

    = q + × Lorentz^ kuvvet eşitliği

∇ ⋅ D = ρ

 Gauss kanunundan Maxwell eşitliği ∇ ⋅ B = 0

 Gauss kanunundan Maxwell eşitliği

∂ t

∂ ∇⋅ =−

ρ J

 Süreklilik eşitliği

∂ t

∂ ∇ × =−

B E

 

7.4 FARADAY KANUNUNDAN MAXWELL EŞİTLİĞİ.............................................................

∂ t

∂ ∇ × = +

D H J

 ^ 

7.9 AMPÈRE KANUNUNDAN MAXWELL EŞİTLİĞİ

Permitivite ( ε) ve permeabilite ( μ) ortamın özellikleridir. Ortam vakum veya boşluk olduğunda

değerleri

ε (^) o = 8 , 851 × 10 −^12 ≈ 10 -9/36 π (F/m)

μ o = 4 π× 10 −^7 (H/m)

ile verilir. Tablo 1.4’de listelenen eşitliklerden, Maxwell, elektromanyetik alanların vakumda ışık hızı,

(^1) =3 108 (m/s) o o

c μ ε

= ×

ile yayıldığını tahmin edebilmişti.

1.3 ELEKTROMANYETİK MODEL

Bir bilimsel konunun geliştirilmesinde indüktif (tümevarım: gözlenen tek tek olgulardan genel yargılara ulaşmak veya özelden genele akıl yürütmek, istikrâ) yaklaşım ve dedüktif (tümdengelim: gerek akıl gerekse gözlem ve deney yoluyla elde edilmiş genel bir olayı ayrı ayrı olaylara uygulamak veya genelden özele akıl yürütmek, istintâc, istidlâl) yaklaşım veya çıkarsama olarak iki yaklaşım vardır. Tümevarım yaklaşım kullanılarak bazı temel deneyimlerin gözlemleri ve bunlardan kanun ve teoremlerin çıkartılması ile başlanarak konunun tarihi gelişimi izlenir. Bu bir olgunun genel prensiplere dayandırılması işlemidir. Tümdengelim yaklaşımda, ideal bir model için yeni temel ilişkiler gerçek gibi kabul edilir. Kabul edilmiş ilişkiler aksiyomlar olup bunlardan kanun ve teoremler çıkartılabilir. Model ve aksiyomların geçerliliği deneysel gözlemler ile kontrol edilen sonuçları tahmin edebilme özelliği ile doğrulanır. Bu kitapta tümdengelim veya aksiyomatik yaklaşımın kullanılması tercih edilmiştir çünkü bu daha kısa, özlü ve elektromanyetik konularının daha tertipli bir yolla gelişimine izin verir.

İdeal modele dayalı bir teorinin oluşturulmasında üç temel adım vardır:

 Çalışma konusuna uyumlu bazı temel miktarlar tanımlanır.

6 Elektromanyetik Alan Teorisi

lim (C/m^3 ) (^0) v

q v (^) v ∆

∆

∆→

ρ

∆ q çok küçük bir ∆ v hacmindeki yük miktarıdır. ∆ v ne kadar küçük olmalıdır? Bu ρ v ’nin doğru

değişimini temsil edecek kadar küçük fakat çok sayıda ayrı yükleri içine alabilecek kadar büyük olmalıdır. Örneğin kenarları 1 mikron (10-6^ m veya 1 μm) kadar küçük olan bir küp 10-18^ m^3 hacmi

ile hala 10^11 (100 milyar) civarında atom içerecektir. Böyle küçük ∆ v hacmi ile tanımlanan ρ v ’nin

uzay koordinatlarının düzleştirilmiş fonksiyonu ile hemen hemen bütün pratik amaçlar için doğru makroskobik sonuçlar vermesi beklenir.

Bazı fiziksel durumlarda ∆ q yük miktarı bir ∆ s yüzey elemanı veya ∆ l çizgi elemanı ile

tanımlanabilir. Böyle durumlarda yüzey yük yoğunluğu ( ρ s ) veya hat yük yoğunluğu’nun ( ρ l )

tanımlanması daha uygun olmaktadır:

lim (C/m^2 ) (^0) s

q s (^) s ∆

∆

∆→

ρ

lim (C/m ) (^0) l

q l (^) l ∆

∆

∆→

ρ

Bazı özel durumların dışında yük yoğunlukları noktadan noktaya değişir; bundan dolayı ρ v , ρ s ve

ρ l genelde uzay koordinatlarının nokta fonksiyonlarıdır.

Akım zamana göre yükün değişim miktarıdır ve

(C/s veya A) dt

I = dq

ile ifade edilir. I ’nin kendisi zamana bağımlı olabilir. Akımın birimi saniye başına Coulomb (C/s) olup amper (A) ile aynıdır. Akım sonlu bir kesit alanından akmalıdır; bundan dolayı nokta

fonksiyonu değildir. Elektromanyetikte akım yoğunluğu ( J

 ) olarak bir vektör nokta fonksiyonu tanımlanmakta olup akım akışının yönüne normal birim yüzey alandan akan akım miktarının bir

ölçüsüdür. Akım yoğunluğu ( J

 ) bir vektörel miktar ve genliği birim alan başına akım (A/m^2 ) ve yönü akım akışının yönüdür.

Elektromanyetikte dört temel alan miktarı olup bunların tanımı ve fiziksel önemi ilgili bölümlerde

açıklanmaktadır. Bunlar elektrik alan şiddeti ( E

 ), elektrik akı yoğunluğu veya elektrik yer değişimi

( D

 ), manyetik akı yoğunluğu ( B

 ) ve manyetik alan şiddeti ( H

 ). Elektrik alan şiddeti ( E

 ) boş uzaydaki elektrostatik alanların açıklanabilmesi için gereken tek vektör olup birim test yüküne

etkiyen elektrik kuvveti olarak tanımlanır. Elektrik akı yoğunluğu ( D

 ) malzeme ortamında elektrik

alan çalışmasında kullanışlıdır. Manyetik akı yoğunluğu ( B

 ) boş uzayda manyetostatik (kararlı elektrik akımlarının etkisi) tartışmasında gereken tek vektördür ve belirli bir hızla hareket eden yük

üzerine etkiyen manyetik kuvvet ile ilişkilidir. Manyetik alan şiddeti ( H

 ) malzeme ortamında manyetik alan çalışmasında kullanışlıdır.

Zaman değişimi olmadığında (statik, kararlı veya durgun durumlar) E

 ve D

 elektrik alan

miktarları ve B

 ve H

 manyetik alan miktarları iki ayrı vektör çifti oluşturur. Bununla beraber

zamana bağımlı durumlarda elektrik ve manyetik alan miktarları kuplajlıdır: zamanla değişen E

 ve

Elektromanyetik Alan Teorisi 7

D

 alanları B

 ve H

 alanlarına neden olur veya bunun tersi olur. Bu dört miktar nokta

fonksiyonlarıdır. Malzeme veya ortam özellikleri E

 ve D

 arasında ve B

 ve H

 arasındaki ilişkileri belirler. Bu ilişkiler bir ortamın yapısal ilişkileri olup ilgili kısımlarda açıklanmaktadır.

Elektromanyetizma çalışmasının ana amacı elektromanyetik modele dayalı olarak belli uzaklıktaki yükler ve akımlar arasındaki etkileşimi anlamaktır. Alanlar ve dalgalar (zaman ve uzay değişken alanlar) bu modelin temel kavramsal miktarlarıdır. İlgili bölümlerde telaffuz edilecek temel kabul

ve varsayımlar E

 , D

 , B

 ve H

 ve kaynak miktarlarını ilişkilendirecek ve çıkartılmış ilişkiler elektromanyetik kavramın açıklanmasına ve tahminine öncülük edecektir.

1.4 VEKTÖR ANALİZİ

Vektör analizi elektromanyetik alan çalışmalarında kullanılan dildir. Vektörler kullanılmaksızın

alan eşitliklerinin yazılması oldukça hantal ve hatırlanması oldukça zordur. Örneğin, A

 ve B

 gibi iki vektörün vektörel çarpımı basit olarak

A B C

   × = (1.1)

şeklinde yazılabilir; C

 başka bir vektördür. Skaler form’da ifade edildiğinde bu eşitlik üç skaler eşitlikten meydana gelir. Ek olarak bu skaler eşitliklerinin görünüşü koordinat sistemine bağlıdır. Dikdörtgen koordinat sisteminde önceki eşitlik aşağıdaki gibi üç eşitliğin kısa ve açık bir versiyonudur:

Ay Bz − AzBy = C x (1.2a)

Az Bx − AxBz = C y (1.2b)

Ax By − AyBx = C z (1.2c)

Vektörel çarpımın üç adet skaler eşleniğine göre vektörel eşitliği daha iyi ifade ettiği kolaylıkla anlaşılabilir. Daha da ötesi vektörel gösterim koordinat sisteminden bağımsızdır. Bundan dolayı vektör analizi alan eşitliklerinin basitleştirilmesi ve bütünleştirilmesine (benzeştirilmesine) yardımcı olur.

Elektromanyetik teoride bir öğrencinin ilk dersi alması gerektiği zaman vektör analizi hakkındaki bilgisi çok sınırlı olmaktadır. Öğrenci gradyan (eğil), diverjans (dağıl) ve rotasyonel (dönül) gibi vektör işlemlerinin yerine getirilmesinde becerikli olabilir fakat her işlemin önemini kavramayabilir. Bütün vektör işlemlerinin bilinmesi elektromanyetik alan teorisinin gelişimini anlayabilmek için gereklidir.

Çoğu kez bir öğrenci, (a) bir skaler vektörü bir vektör yüzeyine dönüştüren birim vektörün daima yüzeye normal olduğunu, (b) ihmal edilebilir kalınlıkta ince bir kağıt yaprağın iki yüzeye sahip olduğunu, (c) bir yüzeyin sınırı boyunca çizgisel integralin yönünün yüzeye normal birim vektörünün yönüne bağlı olduğunu ve (d) açık bir yüzey ile kapalı yüzey arasında farklılık olduğunu bilmeyebilir. Bu kavramlar önemlidir ve bunların her birinin öneminin kavranılması gereklidir.

Vektör analizi çalışmasında iki düşünüş yöntemi vardır. Bir yaklaşımda, her vektör işleminin sadece gerekli olduğunda tanıtılması tercih edilirken; diğerlerinde bir öğrencinin elektromanyetik alan teorisini keşfetmeden önce bütün vektör işlemlerinde gerekli yeterlilik kazanmış olması