Midterm Formula Sheet
𝑝(𝑦)= 𝑝(1 −𝑝)𝑦−1 𝑦 = 0,1,2,… , 𝑛 𝐸(𝑌)=1
𝑝 𝑉(𝑌)=1− 𝑝
𝑝2 𝑚(𝑡)=𝑝𝑒𝑡
1−(1−𝑝)𝑒𝑡
p(y)=
r
y
æ
è
çö
ø
÷N-r
n-y
æ
è
çö
ø
÷
N
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
for y=0,1,2,..., n y £r,n-y£N-r E(Y)=nr
NV(Y)=nr
N
æ
è
çö
ø
÷N-r
N
æ
è
çö
ø
÷N-n
N-1
æ
è
çö
ø
÷
𝑝(𝑦)=𝜆𝑦𝑒−𝜆
𝑦! 𝑓𝑜𝑟 𝑦 = 0,1,2, … 𝜆 > 0 𝐸(𝑌)= 𝜆 𝑉(𝑌)= 𝜆 𝑚(𝑡)= 𝑒𝜆(𝑒𝑡−1)
𝑓(𝑦)=1
𝜃2−𝜃1 𝑓𝑜𝑟 𝜃1≤ 𝑦 ≤ 𝜃2 𝐸(𝑌)=𝜃1+𝜃2
2 𝑉(𝑌)=(𝜃2−𝜃1)2
12 𝑚(𝑡)=𝑒𝑡𝜃2−𝑒𝑡𝜃1
𝑡(𝜃2−𝜃1)
𝑓(𝑦)=1
𝜎√2𝜋𝑒−(𝑦−𝜇)22𝜎2
⁄ 𝑓𝑜𝑟 − ∞ < 𝑦 < ∞ 𝜎 > 0 𝐸(𝑌)= 𝜇 𝑉(𝑌)= 𝜎2 𝑚(𝑡)= 𝑒𝜇+𝜎2𝑡2
2
𝑆2=∑ (𝑦𝑖−𝑦
)2
𝑛
𝑖=0𝑛−1
P(A)
))P(EE|P(A
A)|P(E ii
i=
E(bY)=bE Y
( )
and V(bY)=b2V Y
( )
𝜇 = 𝐸(𝑌)=∑𝑦 𝑝(𝑦)
𝑎𝑙𝑙 𝑦 𝐸[𝑔(𝑌)] =∑𝑔(𝑦) 𝑝(𝑦)
𝑎𝑙𝑙 𝑦
𝜎2= 𝐸[(𝑌 − 𝜇)2]= ∑(𝑦−𝜇)2 𝑝(𝑦)
𝑎𝑙𝑙 𝑦 = 𝐸(𝑌2)− 𝜇2
𝜇𝑘
′= 𝐸(𝑌𝑘) 𝜇𝑘= 𝐸[(𝑌−𝜇)𝑘] 𝑚(𝑡)= 𝐸(𝑒𝑡𝑌) 𝑑𝑘𝑚(𝑡)
𝑑𝑡𝑘]𝑡=0 = 𝑚(𝑘)(0)= 𝜇𝑘
′
𝐹(𝑦)= 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) 𝑓𝑜𝑟 − ∞ < 𝑦 < ∞
𝑓(𝑦)=𝑑𝐹(𝑦)
𝑑𝑦 = 𝐹′(𝑦) 𝐹(𝑦)=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑦
−∞ 𝑃(𝑎 < 𝑌 < 𝑏)= 𝐹(𝑏)− 𝐹(𝑎)=∫𝑓(𝑦)𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝐸(𝑌)=∫𝑦𝑓(𝑦)𝑑𝑦
∞
−∞ 𝐸(𝑔(𝑌)) = ∫𝑔(𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦
∞
−∞
