Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

discrete mathematics, Lecture notes of Mathematical Methods

discrete mathematics 2 cousrse of Comp Eng

Typology: Lecture notes

2024/2025

Uploaded on 06/22/2025

unknown user
unknown user 🇹🇷

1 / 193

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
4
unları
rayıaşnm
Ayrık
Matematik
dersinin
amacı
nedir?
»s
Mantıksal
ve
matematiksel
düşünmeyi
öğrenme
»
Mantık
bilimini
tanıma,
»>
Matematiksel
argümanların
elde
edilmesi
ve
anlamlandırılması,
Matematiksel
olarak
doğru
/yanlışın
gösterilemesi
(ispat
yöntemleri).
e
Kombinatorial
analiz
>
Nesnelerin
sayılması/numaralandırılması
yeteneğini
geliştirme,
»
Saymanın
temel
tekniklerinin
öğrenilmesi,
>
Problemlerin
çözümü
üzerine
farklı
bir
yaklaşım:
Formüller
ile
değil,
akıl
yürütme/analiz
yöntemlerinin
kullanılması.
e
Ayrık
nesneler
>
Ayrık
nesne
çeşitlerinin
tanıtılması,
>
Ayrık
nesnelerin
birbirleriyle
ve/veya
diğer
disiplinler
ile
bağlantılarının
incelenmesi.
Algoritmik
Düşünme
»
Karşılaşılan
problemlerin
çözümleri
için
algoritmaların
oluşturulması,
»
Oluşturulan
algoritmaların
bir
bilgisayar
dili
aracılığıyla
çözüme
ulaşım
sürecinin
hızlandırılması.
Uygulamalar
ve
Modelleme
Mantıksal
yöntemler
matematikte
teoremlerin
ispatlanmasında,
bilgisayar
bilimlerinde
ise
programların
istenilen
işlemlerin
yapmasını
kontrol
etmede
kullanılırlar.
Örneğin,
sizlere
şehirler
arasında
en
kısa
uzaklığın
hesaplanması
ile
ilgili
bir
program
yazmanız
istenilirse,
ne
yaparsınız?
Yazacağınız
program,
e
Herhangi
bir
sayıdaki
şehirleri
(lokasyonları
girdi
olarak
kabul
edebilmeli,
k
e
Bu
şehirler/lokasyonlar
arasındaki
uzaklığı,
kullanılabilecek
olası
bütün
yolları
göz
önünde
bulundurarak,
hesaplayabilmeli
ve/veya
girdi
olarak
girilmesine
imkan
tanımalı,
ve
son
olarak
e
Bu
uzaklıkların
en
kısa
olanını
çıktı
olarak
sunabilmelidir.
Peki,
programın,
herhangi
bir
sayıdaki
şehir
/lokasyon
için
doğru
çalışıp
çalışmadığını
nasıl
kontrol
edebiliriz?
Bu
durumda
mantıksal
bir
argumana
ihtiyaç
duyulacaktır,
yani
mantık
kullanılmalıdır.
Mantık
ilmini
anlamak
günlük
yazma
dilinde
de
kullanışlı
olabilir.
Örneğin,
bir
devletin
kanunlarında
“bir
kimsenin
kendi
evinde
4'den
fazla
kedi
ve
4'den
fazla
köpek
bulundurması
yasalara
aykırıdır”
maddesi
var
ve
bir
kimse
kendi
evinde
6
adet
köpek
bulundurup
hiç
kedi
bulundurmuyorsa
bu
kişi
ilgili
kanuna
aykırı
hareket
etmektedir?
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31
pf32
pf33
pf34
pf35
pf36
pf37
pf38
pf39
pf3a
pf3b
pf3c
pf3d
pf3e
pf3f
pf40
pf41
pf42
pf43
pf44
pf45
pf46
pf47
pf48
pf49
pf4a
pf4b
pf4c
pf4d
pf4e
pf4f
pf50
pf51
pf52
pf53
pf54
pf55
pf56
pf57
pf58
pf59
pf5a
pf5b
pf5c
pf5d
pf5e
pf5f
pf60
pf61
pf62
pf63
pf64

Partial preview of the text

Download discrete mathematics and more Lecture notes Mathematical Methods in PDF only on Docsity!

4 unları rayıaşnm

Ayrık Matematik dersinin amacı nedir?

»s Mantıksal ve matematiksel düşünmeyi öğrenme » Mantık bilimini tanıma, »> Matematiksel argümanların elde edilmesi ve anlamlandırılması,

» Matematiksel olarak doğru /yanlışın gösterilemesi (ispat yöntemleri). e Kombinatorial analiz Nesnelerin sayılması/numaralandırılması yeteneğini geliştirme, » Saymanın temel tekniklerinin öğrenilmesi, Problemlerin çözümü üzerine farklı bir yaklaşım: Formüller ile değil, akıl yürütme/analiz yöntemlerinin kullanılması. e Ayrık nesneler Ayrık nesne çeşitlerinin tanıtılması, Ayrık nesnelerin birbirleriyle ve/veya diğer disiplinler ile bağlantılarının incelenmesi. Algoritmik Düşünme » Karşılaşılan problemlerin çözümleri için algoritmaların oluşturulması, » Oluşturulan algoritmaların bir bilgisayar dili aracılığıyla çözüme ulaşım sürecinin hızlandırılması.

Uygulamalar ve Modelleme

Mantıksal yöntemler matematikte teoremlerin ispatlanmasında, bilgisayar bilimlerinde ise programların istenilen işlemlerin yapmasını kontrol etmede kullanılırlar.

Örneğin, sizlere şehirler arasında en kısa uzaklığın hesaplanması ile ilgili bir program yazmanız istenilirse, ne yaparsınız?

Yazacağınız program, e Herhangi bir sayıdaki şehirleri (lokasyonları girdi olarak kabul edebilmeli,

k

e Bu şehirler/lokasyonlar arasındaki uzaklığı, kullanılabilecek olası bütün yolları göz önünde bulundurarak, hesaplayabilmeli ve/veya girdi olarak girilmesine imkan tanımalı, ve son olarak e Bu uzaklıkların en kısa olanını çıktı olarak sunabilmelidir.

Peki, programın, herhangi bir sayıdaki şehir /lokasyon için doğru çalışıp

çalışmadığını nasıl kontrol edebiliriz?

Bu durumda mantıksal bir argumana ihtiyaç duyulacaktır, yani mantık

kullanılmalıdır.

Mantık ilmini anlamak günlük yazma dilinde de kullanışlı olabilir.

Örneğin, bir devletin kanunlarında

“bir kimsenin kendi evinde 4'den fazla kedi ve 4'den fazla köpek

bulundurması yasalara aykırıdır”

maddesi var ve bir kimse kendi evinde 6 adet köpek bulundurup hiç kedi

bulundurmuyorsa bu kişi ilgili kanuna aykırı mı hareket etmektedir?

1.1 Önermeler

Aşağıdaki iddiaları hangileri “doğru” veya “yanlış” 'tır? e 7'yi tam olarak bölen pozitif tam sayılar sadece 1 ve 7'dir. e Alfred Hitchcock “Rebecca” film direktörü olarak 1940 yılında akademi ödülünü kazandı. e Her pozitif tamsayı p için p'den büyük bir asal sayı vardır. e Uzayda yaşamın olduğu tek yer 'Dünya”'dır. e Cuma günü şehir tiyatrolarındaki “Hayal Satanlar” gösterimi için iki adet tiyatro bileti alınız.

Bir p önermesinin doğruluk değeri p doğru ise D ile, yanlış ise Y ile gösterilir.

Birden fazla önermeden meydan gelen bir önermeye “bileşik önerme” denir. Tanım Bir p önermesinin değili (negatifi), —p ile gösterilir, “p'nin doğru olmadığı durum” olarak tanımlanır. Orneğin,

“Mehmetin kırmızı arabası vardır.”

önermesinin değili

“Mehmetin kırmızı arabası vardır durumu doğru değildir.”

p: Ahmet'in cebinde en fazla 1 milyon TL'sı vardır.

önermesinin değili

—p: Ahmet'in cebinde en fazla 1 milyon TL'sı vardır durumu doğru değildir.

veya daha basit olarak

-p: Ahmet'in cebinde 1 milyon TL'den daha fazla parası vardır.

olarak ifade edilir.

Günlük dilde kullanılan “ve” ve “veya” gibi bağlaçlar genelde birbiriyle

ilişkili ve anlamlı cümleler için kullanılırken Mantık biliminde bu detay önemsenmez.

Örneğin,

“4 < 9 veya Istanbul Turkiye Cumhuriyeti'nin başkentidir.”

gibi önermeler Mantık biliminde abes kaçmaz.

Parantezlerin bulunmadığı ikiden fazla önermenin —, A ve/veya V operatörü ile işlemlerinde öncelik sırası aşağıdaki gibidir: o Önce - işlemleri, e Sonra A işlemleri, ve son olarak & e V işlemleri yapılır.

Örnek

p ver önermelerinin “yanlış”, g önermesinin “doğru” olduğu bir durumda

-pVgAh

önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Tanım p ve g iki önerme olsun. p & g şeklinde gösterilen & operatörüne p ve g'nun dışlayıcı veya operatörü denir, ve “p veya g (ama ikisi birden değil)” olarak okunur. p & g işleminin doğruluk değeri p ve g'nun yalnızca birinin doğru olduğu durumda doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Bu durumda p © g önermesinin doğruluk tablosu

p g)p&g

D Dİ Y

D Yİ D

Y Dİ D

Y Yİ Yy

olacak şekilde elde edilir.

Tanım p ve g iki önerme olsun. p — g şeklinde gösterilen — operatöre p ve g'nun şartlı operatörü denir, ve “eğer p ise, bu durumda g" olarak okunur. p — g işleminin doğruluk değeri p doğru g yanlış olduğunda yanlış, diğer durumların hepsinde doğrudur.

Bu durumda p > g önermesinin doğruluk tablosu

olacak şekilde elde edilir.

p— g şartlı önermesinde p'ye hipotez, g'ya sonuç denir. k vr eri —a ar e e # AL

Eğer yeni dönemde Matematik bölümüne 1 500 000 TL ek bütçe ayrılırsa

bölüm 1 adet fazladan öğretim üyesi ilanına çıkacak.

Bir başka örneğimizde

olarak verilirse, p önermesi Y, ve g önermesi D olduğundan p—g

önermesi D veg—> p ise Y olacaktır.

Parantezlerin bulunmadığı ikiden fazla önermenin —, A, V ve/veya —

operatörü ile işlemlerde — operatörü en son işleme alınır.

Örnek p ve r önermelerinin D, g önermesinin ise Y olduğu bir durumda aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz: epAg—r epVg— -r epAlg—r)

ep—(g—r)

Örneğimizin 2. şıkkının nasıl yapılacağını görelim: Önce — operatörü işleme konulduğundan r önermesi D ise —r önermesi Y olmalıdır. k p önermesi D olduğundan p V g önermesi P olur, dolayısıyla p V g — —r önermesi Y olacaklır.

Tersi ise © -p > -g: Eğer yağmur yağmıyorsa, ev sahibi takım kazanamaz.

Şimdi ise aynı doğruluk değerine sahip iki önermenin birleştirilmesine yönelik başka bir operatör tanıyacağız:

Tanım

p ve g iki önerme olsun. p > g şeklinde gösterilen — operatöre p ve g'nun çift şartlı ifadesi denir, ve “p, ancak ve ancak g ise" olarak okunur. p > g işleminin doğruluk değeri p ve g aynı doğruluk değerlerini aldığında doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Bu durumda p & g önermesinin doğruluk tablosu

olacak şekilde elde edilir. emk iken Bek mi, 120

Örnek

p <> g önermesi ile (p > g) A(g —> p) önermesinin doğruluk değer tablosunu karşılaştırınız.

Bir T.C. vatandaşının USA'e gidebilmesi için gerek ve yeter koşul vize başvurusunun olumlu sonuçlanmasıdır.

1 < 5 ancak ve ancak 2 <8.

Aşağıdaki denklikler literatürde De Morgan Kuralı olarak bilinirler:

»e—(pVg) x—pA—g, e —(pAg)-pV—g.

Tanım Kendisini oluşturan önermelerin doğruluk değerleri ne olursa olsun » her zaman doğru olan bir bileşik önermeye totoloji, se her zaman yanlış olan bir bileşik önermeye çelişki denir.

Tanım Totoloji veya çelişki olamayan bir önermeye belirsiz önerme denir. p herhangi bir önerme olmak üzere

pV -p

önermesini bir totolojiye, p/AN—P önermesini ise çelişkiye örnek verebiliriz. Not: p — g ifadesi bir bileşik önerme değil, p 43g bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösteren bir ifadedir. A e

De Morgan kuralının ilkinin doğruluğunu bir tablo ile göstermek istersek

|lpVg) -ph-g|

<S

Ofe

(^) g D Z D Yı^ O

<< ie

ie

ie

elde ederiz.

Örnek

»XP—g)zph-g , olduğunu gösteriniz.

Örnek

p*az(P—4)A(4—p)

olduğunu gösteriniz.

—— ————————— Şşş yay yg Şimdiye kadar görmüş olduğumuz operatörler (değil, birleştirme, ayırma, şartlı, ve çift şartlı) yardımıyla daha karmaşık bileşik önermeler elde etmemiz mümkündür.

Örneğin,

(8V-4)— (ph) bahsetmiş olduğumuz önerme çeşitlerindedir.

Bu tür karmaşık ifadelerin doğruluk değerlerini ilgili önermeyi oluşturan alt bileşik önermelerin doğruluk değerlerini de bulunduran doğruluk tabloları kullanılarak elde edebiliriz.

Örneğin, yukarıda geçen önermenin doğruluk değer tablosunu

İp al-alpv-glpAgl(pv-9)—(pAg|

<vwko<Ub

<Uo< b<Vvo<< KO<U

Mantıksal Operatörlerin Özellikleri

epAD—p ve pvYzp (Özdeşlik kanunu)

epAYsY ve pVDZzD (Baskınlık kanunu) epApzp ve pVpzplDeğişmezlik kanunu) e —(-p) — p (Çift değilleme kanunu)

ephgsghAp ve pVgzgvVp (Sıra değişme kanunu)

o (^) (pAg)Arsph(gir) ve (pVg)VrspvVl(gvVr) (Birişme

kanunu)

epvl(ghr)z(pVg)A(pVr) ve pAlgVr)x(phg)V(pAr)

(Dağılma kanunu)

e De Morgan kanunları

epV(pAg)zp ve pAlpvVg)zpf(Yutma kanunu)

epV-p—D ve ph-pzy (Değilleme kanunu)

p-—gs-pVg,

P- dsg,

pVgz-p—g,

PWwg— pp),

P—4)zph-g

(p—g)A(p—r)zp—(ghr),

(p-r)A(g—r)zlpVg)-—r,

(p—a)V(p—r)zp—(gVr),

YE) e

Son iki slayttaki denkliklerin doğruluğunu gösterebileceğimiz gibi bu

denklikler kullanılarak başka denkliklerin doğruluklarını gösterebiliriz.

Örneğin, —(p—> g) & p A -g denkliğini doğruluğunu doğruluk değer

tablosu yapmadan göstermemiz mümkündür:

—(-») A

-g)

—pA -g

o —İpV (E (- 1D 1 / N a)))) — —p A -g denkliğinin doğruluğunu doğruluk değer tablosu yapamadan gösteriniz

e (pAg)—> (pV ag) önermesinin bir totoloji olduğunu doğruluk değer

tablosu yapamadan gösteriniz.

Örneğimizin ilk şıkkının doğruluğunu

EV (0pA9)) Ep AapAg) —-pA(pV a) : —(Cp Ap) V( PA —g) —YV(pA-4)

—(-pA -g)

olacak şekilde gösterebiliriz.

Tanım

Bir bileşik önerme eğer onu oluşturan değişkenlerin doğruluk değerleri

sonucu doğru yapılabilecek şekilde atanabiliyorsa saglanabilirdir, tüm olası

atama değerleri için sonuç yanlış olarak bulunuyorsa saglanamazdır denir.

Tanım

Bir bileşik önermeyi doğru yapacak herhangi bir değişken kombinasyonu

atamasına önermenin çözümü denir.

Örnek

Aşağıda verilen önermelerin sağlanabilir olup-olmadıklarını gösteriniz.

e (pV-g) A(gVv-r)A(r V -p),

e (pVgVr)A(pV-gVr), e (pV-g)A(gv-r)A(rv-p) (pvr

—.

px < ifadesi bir önerme olmamakla birlikte iki parçadan oluşur: ilk parçası ““x değişkeni”, ikinci parçası ise “5'ten küçüktür”.

Bu örneğimizdeki p ifadesinin 2. parçasına yüklem denir.

“x < 5", veya “x küçüktür 5” ifadesini P(x) ile ifade edebiliriz.

Burada P, “5'ten küçüktür” yüklemini belirtir, ve x bir değişkendir.

P(X) ifadesi aynı zamanda önerme x, noktasında P önerme fonksiyonunun değeri olarak da ifade edilebilinir.

x değişkeninin her bir değeri için P(x) ifadesi bir önerme olur ve doğruluk değeri vardır.

Örnek

Aşağıdaki her bir ifadeyi birer önermeli fonksiyona örnek verebiliriz:

© “n --n tek bir tamsayıdır”

e

e “Lokanta, Chicago gazetesinin yapmış olduğu ankette 5 üzerinden

2'nin üzerinde puan aldı”

Örneğimizin son şıkkında “lokanta” bir değişkendir ve spesifik bir lokanta

ismi söylenirse ilgili ifadenin doğruluk değeri bulunabilinir.

Niceleme, bir yüklemin bir aralıktaki öğeler üzerinde gerçek olduğu

dereceyi ifade eder.

Her, bazı, birçok, hiçbiri, birkaç, - -- gibi kelimeleri niceleyecilere örnek verebiliriz.

Bu kısımda iki niceleme çeşidi üzerinde duracağız:

k Birden fazla değişken içeren ifadeleri değişkenleri gr fonksiyonunda

belirterek ifade edebiliriz.

Örneğin m — 5 — 2 ifadesini önerme fonksiyonu ©(m, n) ile ifade edilir ve

(m, n) ikilisinin verilen her bir değeri için bu ifade bir önerme olup bir

doğruluk değerine sahiptir.

Örnek

e P(x), “x bir çift tamsayıdır” ifadesini belirtiyorsa P(3) ve P(12)

önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?

e O(m,n), “m— 5 — 2" ifadesini belirtiyorsa ©(0,4) ve ©(2,0)

önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?

e R(a,b,c), “a—b-.c— 2" ifadesini belirtiyorsa R(4,2,3) ve R(2,0.1)

önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?

Genel olarak, n tane xı, xo, :- x, değişkeni içeren bir ifade,P(x1,x5,*:x,)

önerme fonksiyonu ile gösterilir, ve P'ye n—li yüklem denir.

Tanım Belirli bir tanım bölgesi için P(x)'in evrensel nicelemesi, bu tanım bölgesindeki bütün x değerleri için P(x)'in doğru olduğunu öne süren önermedir. Bir başka deyişle, “Tanım bölgesindeki tüm x değerleri için P(x)” ifadesine P(x) evrensel nicelemesi denir. “V x P(x)" gösterimi P(x) için bir evrensel niceleme gösterir, ve V evrensel niceleyeci olarak adlandırılır. “V x P(x)"'i, genelde, “her x P(x) için” olarak okuruz. Yanlış olan bir P(x) elemanı “V x P(x)"'in bir karşıt örneği olarak adlandırılır.

Örnek ©

P(x), "x-*-2 > x" ifadesi olsun. “V x P(x)" nicelemesinin doğruluk

değerini bulunuz (tanım kümesi bütün Reel sayılar).

Vx E R için P(x) ifadesi D olacağindan “V x P(x)” nicelemesinin doğruluk

değeri D'dir.

Örnek

O(x), “x > 2" ifadesi olsun. “Y x ©(x)” nicelemesinin doğruluk değerini

bulunuz (tanım kümesi bütün Reel sayılar).

Vx ER için ©(x) ifadesi D olamayacağından “V x ©(x)” nicelemesinin

doğruluk değeri Y'dir (1 € R,ama 1 > 2 iddiası doğru değildir).

Bir önceki örnekte x—1, “V x ©(x)" için karşıt bir örnektir.

R(Xx), “x* >0” ifadesi olsun. “V x R(x)” nicelemesinin doğruluk değeri

nedir (tanım kümesi bütün Reel sayılar)?

Matematik çalışmalarında evrensel nicel ifadeler için karşıt örnekler arama önemli bir yer tutar.

Tanım bölgesindeki tüm elemanları

X1,X2,*** , Xn

olacak şekilde listeleyebilirsek,

vwPlar

evrensel niceleyicisi P(x), Pe). Pan) niceleyecilerinin hepsi doğru olduğunda doğru olduğundan bu evrensel niceleyeciyi Pa) A P(x) As A P(p) ile gösterebiliriz.

Örnek

Aşağıda verilen varoluşsal niceleyicilerin doğruluğunu, tanım kümelerinin

bütün reel sayılar olması durumunda, araştırınız:

Da 2 — — — — ene 5)

ox (m a > 1).

x - 2 olması durumunda I Xx 2 241 5

iddiası doğru olacağından en az bir x € R için P(x) ifadesi D'dir,

dolayısıyla varoluşsal niceleyicinin doğruluk değeri D'dir.

Tanım bölgesindeki tüm elemanları ©

X1,X2,*** Xp

olacak şekilde listeleyebilirsek,

4x Pix)

varoluşsal niceleyicisi

P(x), Pe): , Plan)

niceleyecilerinin en az biri doğru olduğunda doğru olduğundan bu

varoluşsal niceleyeciyi

Pa) V Pe) V e V Plan)

ile gösterebiliriz. A

D

Bir önceki örneğimizin son şıkkında varoluşal niceliğin yanlış olduğunu bununla bağlantılı evrensel niceleyicinin doğru olduğunu kullanarak gösterdik.

Bu durumu aşağıdaki şekilde genelleyebiliriz:

Teorem

P(X) bir önerme fonksiyonu olsun. Bu durumda

o —(Vx P(x)) 3x P(x),

e-(JxPO)Vx-P(x).

Yukarıdaki teoremde geçen kurallar literatürde “Niceleyiciler için De Morgan kuralları" olarak bilinirler.

Teoremin ilk kısmının doğruluğunu gösterelim (benzer şekilde ikinci kısmın doğruluğu da gösterilebilinir):

Göstermek istediğimiz

—(V x P(X))E 3 x —P(x)

denkliğidir.

—(Y x P(x) ifadesinin D olduğunu vgrsayalım.

Bu durumda V x P(x) ifadesi Y olur. K

Yani tanım kümesinde en az bir x vardır ki P(x) Y'dir.

Bu durumda, tanım kümesinde, en az bir x vardır ki —P(x) D'dir.

Bu ise bize 3 x -P(x) varoluşsal niceleyicinin D olacağını söyler. Yani

-(V x P(x)) X 3 x -P(x).

denkliğinin sol tarafı D ise denkliğin sağ tarafıda D'dir. Benzer şekilde ilgili denkliıgin sol tarafı Y ise denkliğin sağ tarafıda Y olacağını gösterebiliriz. (^) ae lere Daha önce, tanım bölgesindeki tüm elemanları xı, x>2,::-:- , xn, olacak şekilde listelendiğinde, e POE” ve “3x PO)” niceleyicilerinin, sırasıyla, Pa) a PCa) ANA Plan), ve PGA)V PĞEG)J NV SN P(x) ifadelerine denk olduklarından bahsetmiştik. - Bu denkliklerin “genelleştirilmiş De Morgan kuralları”"'nda yerine yazdığımızda da ilgili denkliklerin bir başka formda ifade edildiklerini görebiliriz.

İç İçe Niceleyiciler

“Herhagi iki pozitif reel sayının toplamı pozitif bir reel sayıdır.”

ifadesini göz önünde bulunduralım.

İki sayıdan bahsedildiği için iki değişken ihtiyaç duyacağız, x ve y diyelim.

Bu durumda ilgili ifadeyi

“Eğerx>0vey>0isex-4-y>0'dır."

olarak yazabiliriz.

Orijinal ifadede “herhangi iki” ibaresi geçtiğinden hem x değişkeni için hem

de y değişkeni için evrensel niceleyici V sembolüne ihtiyacımız olacaktır.

Yani, bu ifade

VxVy(xX>0)A(Y>0)—(x4*y>0))." R

olarak yazılabilinir.

Birden fazla niceleyicinin bir arada kullanıldığı niceleyicilere, VxVy gibi, iç içe niceleyiciler denir.

Örnek

Wm3n(m< n) ifadesi ne anlama gelmektedir (tanım kümesi bütün

tamsayılar)?

Bu ifadeyi şu olası cümlelerle anlatabiliriz: “Her me Z içinöyleneZ vardırkim< n'dir."

“Herhangi bir m tamsayısı için m'den büyük bir n tamsayısı vardır.”

“En büyük tamsayı yoktur."

Örnek

“Herkes birilerini sever" cümlesini mantıksal sembollerle ifade ediniz.

“x y'yi sever" ifadesinin fonksiyonunu £(x, y) ile gösterelim.

Cümlesel olarak, orijinal ifadeyi, “Her x kişisi için, öyle bir y kişisi vardır ki

x kişisi y kişisini sever” olarak ifade edebiliriz.

Bu ifadeyi de, sembolik olarak,

Vediyleşy)”

şeklinde yazmamımız mümkündür.

Dikkat edilirse, bir önceki örneğin sembolik ifadesini

“IxVyL(x,y)"

olarak yazamayız.

Tanım gereği, A tanım kümesine sahip

VxVy P(xy)"

ifadesinin “Doğru” olması A kümesindeki her x ve her y için P(x, y)'nin

“Doğru” olmasına bağlıdır.

Bu ifadenin “Yanlış" olması ise A kümesindeki en az bir x veenazbir y için P(x, y)'nin “Yanlış” olması durumunda mümkündür.

Şimdi ise, tanım kümesi bütün reel sayılar olan aşağıdaki ifadeyi göz

önünde bulunduralım:

VxVy(X>0)A4(y<0)—(x4*-y7#0))

Bu ifadenin doğruluk değeri Y'dir çünkü x — 1 ve her y— 1 için

(X>0)4(y<0)—(x*-y7#0)

şartlı önermesi yanlıştır.

Bu durumda, x — 1 ve y — —-I ikilisine bu ifade için karşıt örnektir deriz.