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Complex Numbers and
Trigonometric Functions
Les complexes
Exercice 1 **IT
Pour calculer les racines carrées de 1+i, on peut procéder de deux façons :
a) En utilisant la forme trigonométrique : 1+i = √2 e^(iπ/4), donc les racines carrées sont ±√2 e^(iπ/8).
b) En résolvant l'équation (x+iy)^2 = 1+i, ce qui donne x^2 - y^2 = 1, x^
- y^2 = √2, et xy > 0. Les solutions sont donc ±(√(√2+1)/2 + i√(√2-1)/2).
En identifiant les parties réelles et imaginaires, on en déduit que cos(π/
- = (√2+1)/2√2 et sin(π/8) = (√2-1)/2√2.
Exercice 2 **T
L'équation z^2 + z + 1 = 0 a pour solutions z = (-1±i√3)/2, qui sont les racines cubiques de l'unité.
L'équation Δ' = 1/2 - 2 = -1 = i^2, donc l'équation a deux solutions non réelles et conjuguées, z1 = (1/2)(-1+i) et z2 = (1/2)(-1-i).
Pour tout complexe z, on a z^2 - 2z cos(θ) + 1 = (z - cos(θ))^2 + sin^2(θ) = (z - e^(iθ))(z - e^(-iθ)). Donc les solutions sont z1 = e^(iθ) et z2 = e^(-iθ).
L'équation z^2 - (6+i)z + (11+13i) = 0 a pour discriminant Δ = (6+i)^
- 4(11+13i) = -9-40i. Ses solutions sont z1 = 5-2i et z2 = 1+3i.
L'équation 2z^2 - (7+3i)z + (2+4i) = 0 a pour discriminant Δ = (7+3i)^2 - 8(2+4i) = 24+10i. Ses solutions sont z1 = 3+i et z2 = (1/2) (1+i).
Exercice 3 **IT
On a a = 2 cos(2π/5) et b = 2 cos(4π/5). En utilisant les propriétés des racines de l'unité, on montre que a et b sont les solutions de l'équation X^2 + X - 1 = 0, dont les racines sont (-1±√5)/2. On en déduit les valeurs exactes de cos(2π/5), sin(2π/5), cos(4π/5), sin(4π/5), cos(π/5) et sin(π/5).
Le cercle de centre Ω d'affixe -1/2 passant par le point M d'affixe i recoupe (Ox) en deux points I et J. On montre que OI + OJ = OI.OJ = -1,
ce qui permet de construire le pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1.
Soit x = AF/AC. On montre que x^2 - 3x + 1 = 0, donc x = (3-√5)/2. On en déduit les rapports AF/AC et FG/AF.
Exercice 4 ***
Soit α ∈ (-π/2, π/2). On montre que l'équation (1+iz)/(1-iz)^3 = (1+itanα)/(1- itanα) a pour solutions z = tan(α/3 + kπ/3), où k ∈ {-1, 0, 1}.
Exercice 5 ****
On montre que le centre I du cercle inscrit au triangle (ABC) est le barycentre des points A(a), B(b) et C(c).
On montre que si z n'est pas réel, alors le triangle dont les sommets ont pour affixes z, z^2 et z^3 a pour centre du cercle inscrit le point O d'affixe z/(1+|z|^2).
Exercice 6 ***I
On montre que les conditions suivantes sont équivalentes pour un triangle (ABC) : - (ABC) est équilatéral - j ou j^2 est racine de l'équation az^2 + b^
- c^2 = ab + ac + bc - 1/(b-c) + 1/(c-a) + 1/(a-b) = 0
Exercice 7 **T
L'équation z^4 - (5-14i)z^2 - 2(5i+12) = 0 a pour solutions z = 3-2i, -3+2i, 1-i et -1+i.
Exercice 8 **I
On montre que les solutions de l'équation (z^2 + 1)^n - (z-1)^(2n) = 0 sont de la forme 0 et -e^(2ikπ/n) ± √(2e^(2ikπ/n) - 1)/(1-e^(2ikπ/n)), où k ∈ [1, n-1].
Exercice 10 **I
On montre que pour tout complexe z, z appartient à l'ensemble U{-1} des complexes de module 1 si et seulement s'il existe un réel x tel que z = (1+ix)/(1-ix).
Exercice 11 **IT
On montre que 1+cos(θ)-isin(θ)/(1-cos(θ)+isin(θ)) existe si et seulement si θ ∉ π + 2πZ, et que dans ce cas, cette expression vaut -icot(θ/2).
On montre que 1+e^(iθ)/(1-e^(iθ)) existe si et seulement si θ ∉ π + 2πZ, et que dans ce cas, cette expression vaut -icot(θ/2).
In this case, (1 + cos θ - i sin θ) / (1 - cos θ + i sin θ) = |cot(θ/2)| e^(iπ/ 2). Therefore, (1 + cos θ - i sin θ) / (1 - cos θ + i sin θ) = (-cot(θ/2), π/2).
Case 3: cot(θ/2) = 0
When cot(θ/2) = 0, then θ ∈ π + 2πZ. In this case, (1 + cos θ - i sin θ) / (1 - cos θ + i sin θ) = 0.
General Case: θ ∉ 2πZ
For θ ∉ 2πZ, we have (1 + e^(iθ)) / (1 - e^(iθ)) = e^(iθ/2)(e^(-iθ/2) + e^(iθ/2)) / e^(iθ/2)(e^(-iθ/2) - e^(iθ/2)) = 2 cos(θ/2) - 2i sin(θ/2) = i cot(θ/2). Therefore, (1 + cos θ - i sin θ) / (1 - cos θ + i sin θ) = [cot(θ/2), π/2] or [- cot(θ/2), -π/2].
Exercises
Exercise 12
(1 + i√3)^9 = (2e^(iπ/3))^9 = 2^9 e^(3iπ) = -512. The algebraic form of a complex number is particularly well-suited for addition, while the trigonometric form is particularly well-suited for multiplication. i = e^(iπ/2), and the fourth roots of i are e^(i(π/8 + kπ/2)), k ∈ {0, 1, 2, 3}. -4 / (1 + i√3) = -2 / e^(iπ/3) = -2 e^(-iπ/3) = 2 e^(2iπ/3). The sixth roots of -4 / (1 + i√3) are 6√2 e^(i(π/9 + kπ/3)), k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Exercise 14
Let z ∈ C such that |z| > 1. Then 1 + z + ... + z^(n-1) < z^n + z^n + ... + z^n = n z^n = |n z^n|, and in particular, 1 + z + ... + z^(n-1) ≠ n z^n. If 1 + z + ... + z^(n-1) = 0, then |z| ≤ 1.
Exercise 16
The transformation f is the homothety of ratio 2 and center Ω(-3, 0). ω = iω + 1 ⇔ ω = 1/2(1 + i). Since 1 - i = √2 e^(-iπ/4), f is the similarity of center Ω(1, -2), of ratio √2 and of angle -π/4.
Exercise 17
Let z ∈ C. z is a solution of the equation (z - 1)^n = (z + 1)^n if and only if z = i cot(kπ/n), for some k ∈ [1, n-1].
Exercise 18
The hyperbolic tangent function th exists if and only if z ∉ i(π/2 + πZ). th z = 0 if and only if z ∈ iπZ. |th z| < 1 if and only if z ∈ Δ = {z ∈ C | |Im z| < π/4}. The function th is a bijection from Δ to the open unit disk U.
