Download Bài Tập Toán Kinh Tế cơ bản and more Exercises Business Mathematics in PDF only on Docsity!

ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG

KHOA TOÁN - THỐNG KÊ

BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ

Ngày 31 tháng 12 năm 2018

Tài liệu lưu hành nội bộ

MỤC LỤC

Trang

CHƯƠNG 1

Ma trận – Hệ phương trình tuyến tính

1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận

1.1.1 Cộng, trừ các ma trận, phép nhân ma trận với một số thực

Bài tập

Bài 1. Tìm các ma trận A và B cấp 2 × 3 biết aij = i + j và bij = (−1)

i+j

Bài 2. Tìm các ma trận A và B cấp 2 × 3 biết aij = ij and bij =

1 i+j

Bài 3. Cho A =

, B =

. Tìm C = 2A − 3 B

Bài 4. Cho A =

, B =

, C =

. Tìm D = 3A + 4B − 2 C

Bài 5. Cho A =

, B =

, C =

. Tìm D = 5A − 3 B + 2C

Bài 6. Cho A =

, B =

. Tìm X sao cho 3(X + 2A + B) = X + 7A − 2 B

Bài 7. Cho ma trận A =

. Tìm ma trận X sao cho 3 A + 2X = I 3

Bài 8. Tìm x và y sao cho

1.1.2 Phép nhân các ma trận

Bài tập

Bài 1. Cho A =

, B =

. Chứng minh AB 6 = BA

Bài 2. Cho A =

và B =

. Tìm AB, BA. Nhận xét.

Bài 3. Chứng minh rằng ma trận

a b

c d

thỏa phương trình X

2 − (a + d)X + (ad − bc)I 2 = 0

Bài 4. Cho A =

, B =

Tổng quát, chứng minh rằng (A − B)(A + B) 6 = A

2 − B

2 , với A

2 = AA, B

2 a) = BB.

Tổng quát, chứng minh rằng (A + B)

2 6 = A

2

• 2AB + B

2 b) , với 2 AB = AB + AB.

Bài 5. Cho A =

, B =

và C =

a) Có thể thành lập được tích của những cặp ma trận nào trong các ma trận trên.

b) Tìm ABC. Tìm (AB)

3 c) Tìm C

n d) với n ∈ N.

Bài 6. Cho A =

.Tính A

2 và A

3 .

Bài 7. Cho A =

. Tính A

4 .

Tổng quát, tính A

n với A =

x 0 0

0 y 0

0 0 z

Bài 8. Tính A

2 , với A =

− 1 k

và k là một số thực bất kì.

Bài 9. Tính A

2 , với A =

Bài 10. A store sells brand X and Y brand dishwashers. The following matrices give the sales figures and

costs of these items for three months. Use matrix multiplication to determine the total dollar sales

and total costs of these items for the three months.

Dec. Apr. Aug.

Brand X

Brand Y

X Y

Retailprice

DealerCost

Bài 11. A cycle shop sells two grades of bicycles, Easy Roller (ER) and Super Rider (SR), manufactured

by the same company. The following matrices give the sales of these items for four months and the

selling price and dealer’s cost of these items. Use matrix multiplication to determine the total dollar

Bài 15. (Revenue) A clothing manufacturer has factories in Atlanta, Chicago, and New York. Sales (in

thousands) during the first quarter are summarized in the matrix below.

Atl. Chi. N.Y.

Coats

Shirts

Pants

Ties

During this period the selling price of a coat was $200, of a shirt $40, of a pair of pants $50, and of

a tie $30. Use matrix multiplication to find the total revenue received by each factory

1.1.3 Ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng

Bài tập

Bài 1. Cho A =

, B =

và C =

Tìm ABC − A

T C + 3B

Bài 2. Cho hai ma trận A =

, B =

Tìm

A

T A − 3 B

T B

Bài 3. Cho hai ma trận A =

, B =

Tính 3 A − 2 B, A

T A, và AA

T

Bài 4. Tìm ma trận A thỏa mãn phương trình

A + 3

T

Bài 5. Tìm ma trận chuyển vị của A =

Bài 6. Cho

A =

, B =

, C =

, a = 4, b = − 7

Chứng minh rằng

A

T

)T

a) = A (A+B)

T = A

T

• B

T b)

(aC)

T = aC

T c) (AB)

T = B

T A

T d)

Bài 7. Tìm các giá trị a, b, và c sao cho A là ma trận đối xứng.

A =

2 a − 2 b + 2c 2 a + b + c

3 5 a + c

3 a

6 a

2 b

6 b

6 b

3 c

3 c

3 c

c)

2 x 1

2 x 1

3 x 1

3 x 2

x 2

2 x 2

d)

3 x 1

5 x 1

3 x 1

− 6 x 1

2 x 2

3 x 2

x 2

4 x 2

x 3

2 x 3

3 x 3

2 x 3

e)

4 x 1

3 x 1

− 2 x 1

8 x 2

6 x 2

4 x 2

f)

5 x 1

− 2 x 1

2 x 2

x 2

6 x 3

3 x 3

g)

x

2 x

x

3 x

y

y

2 y

2 z

2 z

4 z

w

2 w

w

3 w

h)

x

2 x

x

3 x

y

y

2 y

2 z

2 z

4 z

w

2 w

w

3 w

i)

x

3 x

− 2 x

x

10 y

4 y

2 y

8 y

6 y

4 z

z

z

2 z

3 z

w

w

2 w

2 w

j)

x

3 x

− 2 x

x

10 y

4 y

2 y

8 y

6 y

4 z

z

z

2 z

3 z

w

w

2 w

2 w

k)

x 1

x 1

x 1

2 x 2

3 x 2

12 x 2

x 3

7 x 3

11 x 3

4 x 4

2 x 4

16 x 4

l)

2 u + 4 v +

w

w

w

2 x

x

3 x

7 x

y

y

2 y

m)

Bài 2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

3 x

6 x

2 y

7 y

a)

x 1

x 1

x 2

x 2

x 3

x 3

b)

x

−x

3 x

2 y

3 y

4 y

z

2 z

7 z

c)

x 1

2 x 1

x 1

7 x 2

3 x 2

4 x 2

7 x 3

x 3

3 x 3

d)

x 1

3 x 1

4 x 1

2 x 2

4 x 2

6 x 2

x 3

x 3

x 3

e)

2 x 1

4 x 1

2 x 1

6 x 1

3 x 2

5 x 2

x 2

7 x 2

x 3

2 x 3

x 3

x 3

x 4

x 4

x 4

4 x 4

f)

2 u

4 u

− 2 u

3 v

6 v

3 v

w

2 w

2 w

x

3 x

2 x

y

y

y

g)

3 x

6 x

3 x

y

2 y

4 y

h)

3 x 1

6 x 1

9 x 1

x 2

3 x 2

2 x 2

x 3

x 3

4 x 4

4 x 4

8 x 4

i)

2 u

2 u

4 u

v

v

3 v

3 v

3 w

4 w

2 w

5 w

2 x

3 x

x

4 x

e)

x 1

x 1

2 x 1

x 1

3 x 2

4 x 2

2 x 2

4 x 2

2 x 2

2 x 3

2 x 3

x 3

x 3

x 4

x 4

x 4

x 4

f)

−Z 1

Z 1

2 Z 1

Z 2

Z 2

2 Z 2

Z 3

2 Z 3

2 Z 3

Z 3

Z 4

3 Z 4

Z 5

Z 5

Z 5

Z 5

g)

Bài 4. (Ticket sales) A 3500-seat theater sells tickets for $75 and $110. Each night the theater’s expenses

total $245,000. When all 3500 seats sell, the owners want ticket revenues to cover expenses plus

earn a profit of 25% of expenses. How many tickets of each price should be sold to achieve this?

Bài 5. (Investment) A man has $235,000 invested in three properties. One earns 12%, one 10%, and one

8%. His annual income from the properties is $22,500 and the amount invested at 8% is twice that

invested at 12%.

a) How much is invested in each property?

b)What is the annual income from each property?

Bài 6. (Loans) A bank lent $1.2 million for the development of three new products, with one loan each at

6%, 7%, and 8%. The amount lent at 8% was equal to the sum of the amounts lent at the other two

rates, and the bank’s annual income from the loans was $88,000. How much was lent at each rate?

Bài 7. An ice cream stand sells chocolate, strawberry, and vanilla ice cream. Yesterday they sold a total of

232 ice creams. The number of strawberry is equal to 4 fewer than 3 times the number of vanilla.

The number of strawberry and vanilla combined equals the number of chocolates sold. How many

of each did they sell?

1.3 Ma trận nghịch đảo

Bài 1. Xác định k sao cho

k k

4 2 k

Bài 2. Tính các định thức cấp 2 sau

a)

sin x cos x

− cos x sin x

b)

Bài 3. Tính các định thức cấp 3 sau

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Bài 4. Tính các định thức cấp 4 sau

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

1 0 2 a

2 0 b 0

3 c 4 5

d 0 0 0

a)

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 x

b)

c)

d)

A =

g) A =

h) A =

i)

A =

j)

(e

x

• e

−x )

(e

x − e

−x )

(e

x − e

−x )

(e

x

• e

−x )

k)

l)

m)

n)

o)

Bài 10. Cho A

− 1

, giải phương trình AX =

Bài 11. Tìm ma trận X sao cho XA = B , với A =

và B =

Bài 12. Cho A =

, B =

Tìm ma trận X sao cho A

− 1 a) X = B. b)Tìm ma trận X sao cho AX = B.

Tìm ma trận X sao cho XA = B

T c). Tìm ma trận X sao cho AXB = 2B

T d).

Tìm ma trận X sao cho ABX = 2B

T e) + A.

Bài 13. Giải các phương trình ma trận sau

X =

a) X

b)

X

c)

X =

d)

X

e)

X =

f)

Bài 14. Cho ma trận vuông A thỏa I + 2A − A

2 = 0. Chứng minh rằng A − A

− 1 = 2I.

Bài 15. Tìm ma trận A biết A

− 1

Bài 16. Tính A nếu A

− 1

Bài 17. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp sử dụng ma trận A

− 1

x 1

5 x 1

x 2

6 x 2

a)

x 1

2 x 1

2 x 1

3 x 2

2 x 2

3 x 2

x 3

x 3

x 3

b)